Teorik Olasılık

Deney, Çıktı ve Örnek Uzay

Bir durumun sonucunu görmek için yapılan eyleme deney, bu deney sonucunda elde edilebilecek her bir duruma ise çıktı denir.

Bir deneyde elde edilebilecek olası tüm çıktıların oluşturduğu kümeye örnek uzay adı verilir. Örneğin havaya atılan bir madenî paranın örnek uzayı yazı ve tura olmak üzere 2 çıktıdan oluşur.

Olay ve Teorik Olasılık

Bir deney her tekrarlandığında örnek uzay içerisinden elde edilebilecek her bir olası duruma olay denir. Örneğin altı yüzlü bir sayı küpü atıldığında üst yüze çift sayı gelmesi bir olaydır ve çıktıları 2, 4, 6 olmak üzere 3 tanedir.

Bir olayın gerçekleşme olasılığının, olaya ait çıktı sayısının örnek uzaydaki tüm olası çıktı sayısına oranlanmasıyla hesaplanmasına teorik olasılık denir. Formül olarak Olasılık = İstenen Çıktı Sayısı / Tüm Çıktı Sayısı şeklinde gösterilir.

Bir madenî para atıldığında yazı gelmesi olayının teorik olasılığı 1/2, 0,50 veya %50 olarak ifade edilir. BİLGE sözcüğünün harflerinden rastgele bir kart çekildiğinde E harfi gelme olasılığı 1/5 (%20), sessiz harf gelme olasılığı ise 3/5 (%60) olur.

Deneme Sayısı ve Göreli Sıklık İlişkisi

Bir deneydeki deneme sayısı arttıkça elde edilen göreli sıklık değeri, o olayın teorik olasılık değerine gittikçe yaklaşır.

Örneğin 30 para atışında yazı oranı %23 çıkabilirken, atış sayısı 10 000'e çıkarıldığında yazı oranı teorik olasılık değeri olan %50 seviyesine ulaşır.

Tümleyen Olay Kavramı

Örnek uzay içerisinde bir olaya ait çıktıların dışında kalan tüm çıktılara o olayın tümleyeni denir.

Bir olayın çıktıları ile o olayın tümleyeninin çıktıları bir araya getirildiğinde örnek uzayın tamamını oluşturur.

Örneğin Türk alfabesindeki 29 harfin bulunduğu bir torbadan rastgele bir harf seçildiğinde sesli harf olma olayının çıktı sayısı 8'dir. Bu olayın tümleyeni olan sessiz harf olma olayının çıktı sayısı ise 21'dir.

Olay ve Tümleyeninin Olasılık İlişkisi

Bir olayın gerçekleşme olasılığı ile gerçekleşmeme (tümleyen) olasılığının toplamı daima 1'e eşittir.

Bir dolaptaki 7 çift siyah ve 3 çift gri çorap arasından rastgele seçilen bir çorabın siyah olma olasılığı 7/10 yani %70'tir. Bu olayın tümleyeni olan siyah olmama olasılığı ise 3/10 yani %30 olarak hesaplanır.

Benzer şekilde 1 bilgisayar, 4 tablet ve 5 telefonun olduğu bir çekilişte tablet kazanma olasılığı 4/10 (%40) iken, tablet dışında bir ürün kazanma olasılığı 6/10 (%60) olur.

Eşit Olasılık Tanımı

Aynı örnek uzay içerisinde eşit sayıda çıktıya sahip olan olaylara eşit olasılıklı olaylar denir.

Bir deneyde yer alan olayların eşit olasılıklı olması için her bir olayı oluşturan çıktı adetlerinin birbiriyle aynı olması gerekir. Çıktı sayıları farklı olan olaylar eşit olasılıklı değildir.

Örneğin içinde 25'er adet fındık, leblebi, badem ve üzüm bulunan bir paketten rastgele seçilen her bir kuruyemiş türünün gelme olasılığı 25/100 yani 1/4'tür (%25). Bu durumların tamamı eşit olasılıklıdır.

Eşit Olasılık Değeri

Eşit olasılıklı olayların olasılık değerinin her zaman %50 veya 1/2 olması zorunlu değildir.

Gülşah'ın işe giderken otobüs, metro, taksi veya vapur seçeneklerinden birini kullanma olasılıklarının her biri 1/4'tür ve bu durumlar eşit olasılıklıdır. 1'den 20'ye kadar numaralandırılmış dolaplardan tek sayı (10 adet) ve çift sayı (10 adet) gelme olayları da 1/2 olasılıkla eşit olasılıklıdır.

Bir sepet içinde 5 armut, 4 elma ve 3 portakal varken olayların eşit olasılıklı hale gelmesi için sepetten 2 armut ve 1 elma çıkarılarak tüm meyve sayıları 3'e eşitlenebilir.

Ayrık Olaylar

Aynı örnek uzaya ait iki olayın hiçbir ortak çıktısı bulunmuyorsa bu olaylara ayrık olaylar denir.

Örneğin bir sayı küpü atıldığında üst yüze tek sayı (1, 3, 5) gelmesi ile çift sayı (2, 4, 6) gelmesi olaylarının hiçbir ortak elemanı yoktur. Dolayısıyla bu iki olay ayrıktır.

Bir olay ile o olayın tümleyeni hiçbir zaman ortak eleman barındırmaz. Bu sebeple bir olay ile tümleyeni her zaman ayrık olaylardır.

Ayrık Olmayan Olaylar

Aynı örnek uzaya ait iki olayın en az bir tane ortak çıktısı bulunuyorsa bu olaylara ayrık olmayan olaylar denir.

Örneğin 1'den 16'ya kadar numaralandırılmış katlar arasından asal sayılı bir katta durma olayı (2, 3, 5, 7, 11, 13) ile tek sayılı bir katta durma olayı (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) incelendiğinde 3, 5, 7, 11 ve 13 sayıları ortaktır. Ortak çıktıların varlığı bu olayları ayrık olmayan olay yapar.

13 farklı kurs arasından spor dalı seçme olayı ile topla oynanan bir spor seçme olayı, basketbol ve voleybol gibi ortak çıktılara sahip olduğu için ayrık olmayan olaylara örnektir.