Paralelkenar ve Üçgenin Alanı

Dikdörtgen ve Paralelkenarda Yükseklik

Dikdörtgende karşılıklı kenarlar arasında çizilen dikme o kenarlara ait yükseklik olarak adlandırılır ve $h$ sembolü ile gösterilir. Dikdörtgenin alanı, bir kenarının uzunluğu ile o kenara ait yüksekliğin çarpılmasıyla hesaplanır.

Paralelkenarda karşılıklı kenarlar arasında çizilen dik doğru parçası da o kenarlara ait yüksekliktir. Bu dikme paralelkenarın bir kenarına inebileceği gibi kenarın uzantısına da inebilir.

İki paralel doğru arasında çizilen dikme, bu doğrular arasında oluşturulan tüm çokgenlerin ortak yüksekliğidir.

Paralelkenarın Alan Bağıntısı

Bir paralelkenarın alanı, bir kenarının uzunluğu ile o kenara ait yüksekliğin uzunluğunun çarpımı ile bulunur. Alan bağıntısı $A = a \times h$ formülü ile ifade edilir.

Paralelkenarda farklı kenarlara ait iki ayrı yükseklik çizilebilir. Hangi kenar taban olarak seçilmişse alan hesabı o kenar ile o kenara ait yüksekliğin çarpımı üzerinden yapılır.

Örneğin taban uzunluğu $20\text{ cm}$ ve bu tabana ait yüksekliği $12\text{ cm}$ olan bir paralelkenarın alanı $20 \times 12 = 240\text{ cm}^2$ değerine eşittir. Aynı paralelkenarın $15\text{ cm}$ uzunluğundaki diğer kenarına ait yükseklik ise $240 / 15 = 16\text{ cm}$ olarak bulunur.

Üçgende Yükseklik

Üçgenin bir köşesinden karşısındaki kenara veya kenarın uzantısına çizilen dik doğru parçasına o kenara ait üçgende yükseklik denir. Bir kenara ait yükseklik $h_a$ gibi sembollerle gösterilir.

Dik açılı üçgenlerde dik kenarlar aynı zamanda birbirine ait yüksekliklerdir. Geniş açılı üçgenlerde ise dar açıların karşısındaki kenarlara ait yükseklikler üçgenin dış bölgesinde yer alır.

Paralelkenar ile Üçgen Arasındaki İlişki

Bir paralelkenarın köşegeni, paralelkenarı birbiriyle eş iki üçgene ayırır. Bu durum, paralelkenarın alanının iki eş üçgenin alanları toplamına eşit olduğunu gösterir.

Bir üçgenin alanı, aynı taban ve yüksekliğe sahip paralelkenarın alanının tam yarısı kadardır.

Üçgenin Alan Bağıntısı

Bir üçgenin alanı, bir kenarının uzunluğu ile bu kenara ait yüksekliğin çarpımının ikiye bölünmesiyle hesaplanır. Alan bağıntısı $A = (a \times h) / 2$ formülü ile gösterilir.

Örneğin tabanı $12\text{ cm}$ ve bu tabana ait yüksekliği $12\text{ cm}$ olan bir üçgenin alanı $(12 \times 12) / 2 = 72\text{ cm}^2$ bulunur. Aynı üçgenin $20\text{ cm}$ uzunluğundaki diğer kenarına ait yükseklik $(20 \times h) / 2 = 72$ eşitliğinden $7,2\text{ cm}$ olarak hesaplanır.

Çokgensel Bölgeleri Birleştirme ve Çıkarma

Gerçek yaşamda karşılaşılan karmaşık zeminler ve araziler, dikdörtgen, paralelkenar ve üçgen gibi temel geometrik parçalara ayrılarak incelenir. Bütünün alanını bulmak için parçaların alanları toplanır ya da istenmeyen alanlar bütünden çıkarılır.

Örneğin $18\text{ m} \times 25\text{ m}$ boyutlarında $450\text{ m}^2$ bir bahçeden, $48\text{ m}^2$ alana sahip yüzme havuzu ile tabanı $7\text{ m}$ ve yüksekliği $3\text{ m}$ olan $21\text{ m}^2$ paralelkenar otopark çıkarıldığında geriye $450 - (48 + 21) = 381\text{ m}^2$ çim alan kalır.

Benzer şekilde $22\text{ m} \times 14\text{ m}$ ölçülerindeki $308\text{ m}^2$ araziden $6\text{ m}$ tabanlı paralelkenar yol ($6 \times 14 = 84\text{ m}^2$) çıkarıldığında geriye $224\text{ m}^2$ alan kalmaktadır.

Alan ve Maliyet Hesapları

Alan ölçüsü hesaplandıktan sonra metrekare başına düşen malzeme ihtiyacı ve maliyet belirlenir. Tabanı $16\text{ m}$ ve yüksekliği $8\text{ m}$ olan paralelkenar biçimindeki $128\text{ m}^2$ bir bahçede her $2\text{ m}^2$'ye bir ağaç dikildiğinde $64$ ağaç gerekir ve fidanların toplam maliyeti hesaplanır.

Birimler arası uyuma dikkat edilmelidir. Tabanı metre cinsinden verilen bir alana santimetre ölçülerinde kaplama malzemesi yerleştirilirken alanların aynı ölçü birimine dönüştürülmesi zorunludur.