Matematik 6. Sınıf Konu anlatımı

Ünite 05 Geometrik Şekiller Konu 1/3

İki Paralel Doğrunun Bir Kesen ile Oluşturduğu Açılar

Bu konuda iki paralel doğrunun bir kesenle yaptığı yöndeş, iç ters, dış ters ve karşı durumlu açılar ile paralellik kuralları incelenmektedir.

Kazanımlar

19. Hafta8 Şubat – 12 Şubat

MAT.6.3.1 Düzlemde iki paralel doğru ve bir kesen ile oluşan açıları sınıflandırabilme

a Düzlemde iki paralel doğru ve bir kesen ile oluşan açıları belirler.
b Düzlemde iki paralel doğru ve bir kesen ile oluşan açıları ayrıştırır.
c Düzlemde iki paralel doğru ve bir kesen ile oluşan açıları tasnif eder.
ç Bu tasnife göre açıları adlandırır.

Konu araçları5 araç

Konu bölümleri

Yöndeş Açılar

Düzlemde iki paralel doğru bir kesenle kesiştiğinde aynı yöne bakan açılar oluşur.

İki paralel doğrunun bir kesenle kesiştiği noktalarda aynı yöne bakan açılara yöndeş açılar denir.
Paralel doğrular arasında yöndeş açıların ölçüleri birbirine her zaman eşittir.
Kesişen doğrularda komşu olan iki açı birbirini tamamlayarak toplamı $180^\circ$ olan komşu bütünler açılar oluşturur.

Dikkat Açıların sadece aynı yöne bakması yetmez; doğruların birbirine paralel olması şartıyla ölçüleri eşit olur.

Örnek

Birbirine paralel $d_1$ ve $d_2$ doğrularını kesen bir $k$ doğrusu veriliyor. Üst kesişim noktasında sağ üste bakan açı $3x + 15^\circ$ , alt kesişim noktasında sağ üste bakan yöndeş açı ise $75^\circ$ olduğuna göre $x$ kaç derecedir?

Yöndeş açılar birbirine eşit olduğundan $3x + 15^\circ = 75^\circ$ denklemi kurulur.
$3x = 75^\circ - 15^\circ = 60^\circ$ olur.
$x = 60^\circ / 3 = 20^\circ$ bulunur.

İç Ters ve Dış Ters Açılar

Paralel iki doğru arasında ve dışında kesenin farklı taraflarına bakan ters açılar meydana gelir.

Ters açı çeşitleri;

Paralel doğruların arasında kalan ve kesenin zıt taraflarında bulunan açılara iç ters açılar denir.
Paralel doğruların dışında kalan ve kesenin zıt taraflarında bulunan açılara dış ters açılar denir.
Paralel iki doğruyu kesen bir doğru üzerinde oluşan iç ters açıların ve dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
İki doğrunun kesişiminde sırt sırta duran ters açıların ölçüleri her zaman birbirine eşittir.

Dikkat İç ters açılar paralel doğruların iç bölgesinde (Z kuralı), dış ters açılar ise paralellerin dış bölgesinde yer alır.

Örnek

Paralel iki doğruyu kesen bir doğru ile oluşan açılardan biri $125^\circ$ olan bir dış açıdır. Bu açının dış tersi olan açının komşu bütünlerinin ölçüsü kaç derecedir?

Dış ters açıların ölçüleri eşit olduğundan dış ters açının ölçüsü $125^\circ$ olur.
Komşu bütünler açıların toplamı $180^\circ$ olduğundan bütünler açı $180^\circ - 125^\circ$ işlemiyle bulunur.
İstenen açının ölçüsü $55^\circ$ olarak hesaplanır.

Karşı Durumlu Açılar ve Paralellik Şartı

İki doğrunun paralelliği, aralarındaki açıların belirli kuralları sağlamasına bağlıdır.

Paralellik kuralları;

Paralel doğrular arasında kesenin aynı tarafında kalan karşı durumlu açıların ölçüleri toplamı $180^\circ$ 'dir.
İki doğrunun paralel olabilmesi için yöndeş açıların eşitliği ya da iç açıların bütünler olma şartı sağlanmalıdır.
Paralel doğrular arasında kırılma noktası bulunduğunda köşeden yardımcı paralel doğru çizilerek açılar hesaplanır.
Paraleller arasında zıt yönlü kırılmalarda sağa bakan açıların toplamı sola bakan açıların toplamına eşitlenir (M kuralı).

Not İki doğru arasındaki iç açıların toplamı $180^\circ$ yapmıyorsa bu doğrular paralel değildir.

Dikkat Yöndeş açılar birbirine eşit iken, kesenin aynı tarafında kalan karşı durumlu açılar birbirine eşit değil, toplamları $180^\circ$ 'dir.

Örnek

Birbirine paralel iki ray arasında kesen bir yol üzerinde kesenin aynı tarafında kalan iç açılardan biri $108^\circ$ , diğeri ise $2x + 12^\circ$ olarak veriliyor. Bu yolların paralel kalması için $x$ kaç derece olmalıdır?

Karşı durumlu açıların toplamı $180^\circ$ olmalıdır: $108^\circ + (2x + 12^\circ) = 180^\circ$ .
$2x + 120^\circ = 180^\circ$ eşitliğinden $2x = 60^\circ$ bulunur.
$x = 30^\circ$ olarak hesaplanır.

Detaylı konu anlatımı

Yöndeş Açılar

Düzlemde iki paralel doğrunun bir kesenle kesişmesi sonucu farklı konumda sekiz açı oluşur. Bu açılardan aynı yöne bakan açılara yöndeş açılar denir.

İki paralel doğruyu kesen doğru üzerinde aynı yöne bakan açıların ölçüleri birbirine eşittir. Yöndeş açılar belirlenirken açıların yönleri dikkatle incelenir.

Demir yolu raylarını kesen bir yol üzerindeki aynı yöne bakan tüm köşe açıları yöndeş açılara somut bir örnektir.

İç Ters ve Dış Ters Açılar

Paralel doğruların arasında kalan bölgede bulunan ve kesen doğrunun zıt taraflarında yer alan açılara iç ters açılar denir. İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Paralel doğruların dışında kalan bölgede yer alan ve kesenin zıt yönlerinde bulunan açılara ise dış ters açılar adı verilir. Dış ters açıların ölçüleri de birbirine eşittir.

Paralel doğrular ve bir kesenle oluşan açılarda yöndeş, iç ters ve dış ters açı çiftleri eş açılardır.

Karşı Durumlu Açılar ve Paralellik Şartı

Paralel iki doğru arasında kalan ve kesen doğrunun aynı tarafında bulunan açılara karşı durumlu açılar denir. Bu tür komşu açıların ölçüleri toplamı 180 derecedir ve birbirini bütünler.

İki doğrunun birbirine paralel olması için yöndeş açıların eşitliği veya karşı durumlu açıların toplamının 180 derece olması kuralı sağlanmalıdır.

İki paralel doğru arasında oluşan kırılma noktalarından ek bir paralel doğru çizilerek bilinmeyen açılar hesaplanır.

Konuyu anlama alıştırmaları

Yöndeş Açılar

Günlük Hayattan Bul: Çevrende iki paralel çizginin dikey veya eğik bir çizgiyle kesiştiği bir yapı belirle.

İç Ters ve Dış Ters Açılar

Karşılaştır: İç ters açılar ile dış ters açılar arasındaki konum farkını belirle.

Karşı Durumlu Açılar ve Paralellik Şartı

Düşün: Bir makasın kollarının oluşturduğu dar ve geniş açıların toplamının nasıl değiştiğini incele.

Özet

Yöndeş Açılar: İki paralel doğruyu kesen bir doğrunun aynı yönüne bakan ve ölçüleri eşit olan açılardır.
İç Ters Açılar: Paralel doğruların arasında kalıp kesenin zıt taraflarında bulunan eşit ölçülü açılardır.
Dış Ters Açılar: Paralel doğruların dışında kalıp kesenin zıt taraflarında bulunan eşit ölçülü açılardır.
Karşı Durumlu Açılar: Paralel doğrular arasında kesenin aynı tarafında kalan ve toplamı 180 derece olan açılardır.
Bütünler Açılar: Ölçüleri toplamı 180 dereceye eşit olan açı çiftleridir.
Paralellik Kuralı: Yöndeş açıları eşit veya karşı durumlu açıları toplamı 180 derece olan doğrular paraleldir.

Düşün ve yorumla

Sence mimaride ve köprü tasarımlarında paralel doğruların kesenlerle oluşturduğu eşit açılar dayanıklılığı nasıl etkiler?

…soru

Kavrama testi

Ne kadar anladın?

Kavrama testiyle kendini dene. Yarım bıraktığın test kaldığın yerden devam eder.