Cebirsel İfadeler ve Algoritma

Harizmi ve Cebir

Cebir alanının temelleri, 780-847 yılları arasında yaşamış olan İslam dünyasının büyük matematikçisi Harizmi tarafından atılmıştır. Harizmi, El-Kitab'ül-Muhtasar fi Hısab'il Cebri ve'l-Mukabele adlı eserinde cebirsel yöntemleri sistematik hale getirdiği için Cebirin Babası olarak tanınır.

Harizmi, hesaplamalarda bilinmeyen nicelikleri adlandırmak için şey sözcüğünü kullanmıştır. Bu ifade zaman içinde matematiksel gösterimlerin gelişmesiyle günümüzdeki x harfine dönüşmüştür.

Değişken, Katsayı ve Sabit Terim

Sayısal değerlerin yerine kullanılan harf veya sembollere değişken adı verilir. İçerisinde en az bir değişken ve en az bir işlem barındıran ifadelere cebirsel ifade denir.

Cebirsel ifadelerde değişkenin önünde çarpım durumunda bulunan sayıya katsayı denir. Yanında değişken bulunmayan, sadece sayıdan oluşan ifadelere ise sabit terim adı verilir.

Örneğin 4a + 3 cebirsel ifadesinde a harfi değişkendir. Değişken ile çarpılan 4 sayısı katsayı, tek başına duran 3 sayısı ise sabit terimdir. Cebirsel ifadelerde çarpma işlemi nokta "." simgesi ile gösterilir veya katsayı ile harf yan yana bitişik yazılır.

Bir cebirsel ifade birbirine denk farklı biçimlerde yazılabilir. Örneğin 4a ifadesi 3a + a veya a + a + a + a toplamı şeklinde ifade edilebilir.

Sözel İfadeleri Cebirsel İfadeye Dönüştürme

Gerçek yaşam durumlarındaki bilinmeyen miktarlar harflerle adlandırılarak matematiksel işlemlere dönüştürülür. İşlem sırasına göre parantez kullanımı cebirsel ifadenin anlamını doğrudan belirler.

"Bir sayının 15 fazlası" durumu x + 15 şeklinde yazılırken, "bir sayının 100 eksiği" durumu x - 100 olarak gösterilir. Bir niceliğin katı alınırken katsayı harfin önüne yazılır; örneğin bir miktarın 3 katı 3a veya 3 . a biçiminde ifade edilir.

İşlem adımlarında önce toplama veya çıkarma yapılıp ardından kat alınıyorsa parantez kullanılır. "Bir sayının 3 fazlasının 4 katı" ifadesi 4 . (x + 3) şeklinde, "bir sayının 3 eksiğinin çeyreği" ifadesi ise (m - 3) / 4 şeklinde yazılır.

Cebirsel İfadelerin Değerini Hesaplama

Bir cebirsel ifadenin belirli bir durum için sayısal sonucunu bulmak amacıyla değişkene verilen sayı yerine yazılır ve aritmetik işlemler tamamlanır.

Örneğin iki duvar arasındaki mesafe 17x + 5 cm ifadesiyle temsil edildiğinde, x = 15 cm için mesafe 17 . 15 + 5 işleminden 255 + 5 = 260 cm olarak bulunur.

Bir çiftlikteki a adet koyun ve b adet tavuğun toplam ayak sayısı 4a + 2b ifadesiyle gösterilir. Çiftlikte 25 koyun ve 55 tavuk bulunması durumunda toplam ayak sayısı 4 . 25 + 2 . 55 = 100 + 110 = 210 olur.

Örüntü Kuralını Cebirsel Olarak Belirleme

Düzenli bir şekilde artan ya da azalan sayı veya şekil dizilerinde herhangi bir adımdaki değeri bulmak için örüntü kuralı cebirsel olarak yazılır. Bu kuralda adım sayısını temsil etmek için n değişkeni kullanılır.

Ardışık terimler arasındaki sabit artış miktarı n değişkeninin katsayısı olur. Ardından birinci adım değerini sağlamak için gereken sayı kurala eklenir veya çıkarılır.

Örneğin 7, 11, 15, 19, 23, ... örüntüsünde sayılar dörder dörder artmaktadır; bu nedenle katsayı 4 olup 4n yazılır. Birinci adımda (n = 1) sonucun 7 çıkması için 3 eklenir ve örüntü kuralı 4n + 3 olarak belirlenir. Bu kural sayesinde 90. adımdaki terim 4 . 90 + 3 = 363 şeklinde doğrudan hesaplanır.

Geometrik Şekillerde Cebirsel Bağıntılar

Çokgenlerin kenar sayısı ile iç açı ölçüleri arasındaki ilişki cebirsel ifadelerle modellenir. Kenar sayısı n olan bir çokgenin iç açıları toplamını veren cebirsel kural (n - 2) . 180 bağıntısıdır.

Düzgün çokgenlerde tüm iç açılar ve tüm dış açılar birbirine eşittir. Bu nedenle n kenarlı düzgün bir çokgenin bir dış açısı 360 / n ifadesiyle, bir iç açısı ise ((n - 2) . 180) / n ifadesiyle bulunur.

Algoritma ve Akış Şeması Elemanları

Bir problemin çözümüne ulaşmak için izlenen sıralı ve mantıksal işlem basamaklarına algoritma denir. Bu basamakların metin halinde adım adım yazılmasına sözde kod, geometrik sembollerle şematize edilmesine ise akış şeması adı verilir.

Akış şemalarında her geometrik şeklin standart bir görevi vardır:

• Elips: Başla ve bitir adımlarını gösterir.
• Paralelkenar: Dışarıdan veri girişini veya ekrana çıktı verilmesini temsil eder.
• Dikdörtgen: Matematiksel hesaplamaları ve değişkene değer atama işlemlerini içerir.
• Eşkenar dörtgen (baklava dilimi): Karşılaştırma yapma veya karar verme adımlarında kullanılır.
• Oklar: İşlemlerin yürütülme yönünü ve akışını gösterir.

Algoritmik Yapılarda Cebirsel Dönüşüm ve Hata Analizi

Akış şemalarındaki adımlar cebirsel denklemlere ve hesaplamalara dönüştürülebilir. Örneğin birim fiyatı x TL olan kalemden 5 adet alındığında toplam tutar dikdörtgen içinde 5 . x şeklinde hesaplanır.

Bir algoritmada işlemlerin sırası ve kullanılan matematiksel işlem doğru kurgulanmalıdır. Örneğin iki kişinin yaş ortalamasını hesaplayan bir akış şemasında, kişilerin yaşları girilmeden önce toplama veya ortalama adımı yazılırsa sıralama hatası oluşur.

Benzer şekilde çevresi x cm olan düzgün bir altıgenin bir kenarını bulmak için akış şemasında x . 6 yazılması işlem hatasıdır; kural x / 6 olarak düzeltilmelidir.