Bir Doğal Sayının Çarpanları ve Katları

Bir doğal sayının çarpanlarını, bölenlerini ve katlarını inceleyerek sayılar arasındaki ilişkileri keşfetmeyi ve bu ilişkileri günlük hayat problemlerinde kullanmayı sağlayan ders notudur.

Kazanımlar

1. Hafta14 Eylül – 18 Eylül

MAT.6.1.1 Karşılaştığı problem durumlarında bir doğal sayının çarpan ve katlarına yönelik muhakeme yapabilme

a Karşılaştığı durumlarda bir doğal sayının çarpan ve katlarına yönelik varsayımlarda bulunur.
b Varsayımına yönelik örnek durumların içerdiği ilişkileri inceleyerek bir doğal sayının çarpan ve katlarına ilişkin genellemeleri belirler.
c Elde ettiği genellemelerin varsayımını karşılayıp karşılamadığını çeşitli modellerle gösterir.
ç Varsayımı ile ilgili ulaştığı sonuca yönelik doğrulayabileceği matematiksel bir önermeyi sözel ya da sembolik temsil ile sunar.
d Farklı problemlerin pratik yoldan çözümüne yönelik oluşturduğu önermenin gerekçelerini sunar.
e Önermenin geçerliliğini destekleyen kapsayıcı örnekler verir.
f İşe koştuğu doğrulamanın benzer önermelere uygulanıp uygulanamayacağını değerlendirir.

Konu araçları7 araç

Anahtar kavramlar

Doğal Sayının Çarpanı: Bir doğal sayıyı oluşturan iki doğal sayının çarpımındaki her bir sayıya o sayının çarpanı denir.
Kalansız Bölen: Bir doğal sayıyı kalansız bölen sayılara bölen denir ve bölenler çarpanlar ile tamamen aynıdır.
En Küçük Çarpan: Sıfır hariç tüm doğal sayıların en küçük doğal sayı çarpanı her zaman 1 sayısıdır.
Doğal Sayının Katı: Bir doğal sayının sayma sayıları ile sırayla çarpılması sonucu elde edilen sayılara o sayının katları denir.
Katların Sonsuzluğu: Sıfırdan farklı bir doğal sayının katlarının sonu yoktur ve sonsuz sayıdadır.

Konu bölümleri

Doğal Sayıların Çarpanları ve Bölenleri

📖 Konu Anlatımı

Çarpan Kavramı

Her doğal sayı, iki doğal sayının çarpımı şeklinde yazılabilir. Çarpılan bu iki sayıya o doğal sayının çarpanı denir.

Örneğin 15 doğal sayısı, 1 x 15 veya 3 x 5 şeklinde farklı iki doğal sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu durumda 15 sayısının çarpanları 1, 3, 5 ve 15 sayılarıdır.

En Küçük ve En Büyük Çarpan

Sıfır hariç tüm doğal sayıların en küçük doğal sayı çarpanı 1 sayısıdır. Bir doğal sayının en büyük çarpanı ise o doğal sayının kendisidir.

Sıfır hariç bir doğal sayının çarpanlarının sayısı sınırlıdır. Örneğin 11 sayısının sadece 2 tane çarpanı bulunurken, 42 sayısının 8 tane çarpanı vardır.

Çarpan ile Bölen İlişkisi

Bir doğal sayının çarpanları, aynı zamanda o doğal sayıyı kalansız böler. Bir doğal sayıyı kalansız bölen sayılara o doğal sayının bölenleri denir.

Dolayısıyla bir doğal sayının çarpanları ile bölenleri tamamen aynı sayılardan oluşur. Örneğin 50 sayısını kalansız bölen 1, 2, 5, 10, 25 ve 50 sayıları, aynı zamanda 50'nin çarpanlarıdır.

Problemlerde Çarpan Uygulamaları

Günlük yaşamda eşit gruplar oluşturulurken veya bir nesne eşit parçalara ayrılırken çarpanlardan yararlanılır. Örneğin 32 sayfalık bir kitap her gün eşit sayıda sayfa okunarak 1, 2, 4, 8, 16 veya 32 günde bitirilebilir.

Sınıflarda grup çalışmaları yapılırken her gruptaki öğrenci sayısının eşit olması için sınıf mevcudunun çarpanları kullanılır. Kalınlıkları eşit çubuklar eşit parçalara kesilirken de çubuk uzunluklarının bölenleri dikkate alınır.

💭 Düşün / Hayal Et / Dene

Karşılaştır: Bir doğal sayının çarpanı olma durumu ile o sayının böleni olma durumu arasındaki ilişkiyi düşünerek bu iki kavramı birbiriyle karşılaştır.

Doğal Sayıların Katları

📖 Konu Anlatımı

Kat Kavramı

Bir doğal sayının sayma sayıları ile sırayla çarpılması sonucu elde edilen sayılara o doğal sayının katları denir. Sayma sayıları 1, 2, 3, 4 şeklinde devam eden sayılardır.

Örneğin 15 doğal sayısının katları 15 x 1 = 15, 15 x 2 = 30, 15 x 3 = 45 şeklinde sırayla çarpılarak bulunur. 7 sayısının katları ise 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 şeklinde ilerler.

Katların Özellikleri

Doğal sayıların sonu olmadığı için bir doğal sayının katlarının da sonu yoktur. Bu nedenle sıfırdan farklı bir doğal sayının katları sonsuz sayıdadır.

Bir doğal sayının katlarının en küçüğü o doğal sayının kendisine eşittir. Bir doğal sayının çarpanlarının en büyüğü ile katlarının en küçüğü aynı sayıya karşılık gelir.

Problemlerde Kat Uygulamaları

Günlük hayatta belirli aralıklarla tekrarlanan durumların hesabında kat kavramından faydalanılır. Örneğin her hafta 5 TL biriktiren bir kişinin kumbarasında 1. hafta 5 TL, 2. hafta 10 TL, 36. hafta sonunda ise 180 TL birikir.

Eşit aralıklarla mola veren araçların duracağı kilometreler veya nöbet sıralarının kaç günde bir geleceği katlar yardımıyla belirlenir. Örneğin 60 katlı bir gökdelende çift numaralı katlara çıkan bir asansörün 8'in katı olan katlarda durmaması durumunda 8, 16, 24, 32, 40, 48 ve 56. katlar atlanır.

💭 Düşün / Hayal Et / Dene

Günlük Hayattan Bul: Kat kavramının kullanıldığı ve belirli aralıklarla tekrarlanan olaylara günlük hayattan bir durum örneği belirle.

Özet

Doğal Sayı Çarpanı: Her doğal sayıyı oluşturan ve çarpıldığında o sayıyı veren iki doğal sayıdan her birine çarpan denir.
En Küçük Çarpan: Sıfır hariç tüm doğal sayıların en küçük doğal sayı çarpanı her zaman 1 sayısıdır.
En Büyük Çarpan: Sıfır hariç bir doğal sayının alabileceği en büyük çarpan o sayının kendisine eşittir.
Sınırlı Çarpan Sayısı: Bir doğal sayının pozitif çarpanlarının toplam sayısı her zaman sınırlı bir adettir.
Doğal Sayı Böleni: Bir doğal sayıyı kalansız bölen sayılara o doğal sayının bölenleri adı verilir.
Çarpan Bölen Eşitliği: Bir doğal sayının çarpanları ile o sayıyı kalansız bölen sayılar tamamen aynıdır.
Doğal Sayı Katı: Bir doğal sayının sayma sayılarıyla sırayla çarpılması sonucu elde edilen sayılara kat denir.
En Küçük Kat: Sıfırdan farklı bir doğal sayının katları arasından en küçüğü o sayının kendisine eşittir.
Sonsuz Kat Kümesi: Doğal sayıların sonu bulunmadığı için bir sayının katları sonsuz sayıda devam eder.

Düşün ve yorumla

Sence bir sayının çarpanlarının sınırlı sayıda olması ile katlarının sonsuz sayıda olması günlük hayattaki planlamaları nasıl etkiler?

…soru

Kavrama testi

Ne kadar anladın?

Kavrama testiyle kendini dene. Yarım bıraktığın test kaldığın yerden devam eder.