Matematik 7. Sınıf Konu anlatımı

Ünite 04 Dönüşüm Konu 1/2

Yansıma Dönüşümü

7. Sınıf Matematik dersi Yansıma Dönüşümü konusunda yansıma simetrisi, görüntü oluşturma, şekil özellikleri, orta dikme ilişkisi ve günlük hayattaki simetrik uygulamaları öğrenin.

Kazanımlar

17. Hafta11 Ocak – 15 Ocak

MAT.7.3.1 Şekillerin yansıma dönüşümü altındaki görüntülerinin oluşturulmasına dair çıkarım yapabilme

a Şekillerin yansıma dönüşümleri altındaki görüntülerini oluşturmaya dair varsayımlarda bulunur.
b Şekillerin yansıma dönüşümü altındaki görüntülerini oluşturur.
c Varsayımlarını doğrulamaya yönelik karşılaştırmalar yapar.
ç Bir şekil ile yansıma dönüşümü altındaki görüntüsü arasındaki ilişkilere dair önermeler sunar.
d Önermenin verilen iki eş şeklin bir doğruya göre simetrik olup olmadığını belirlemeye ve simetrik bir şeklin simetri doğrusunu oluşturmaya yönelik katkısını değerlendirir.

Konu araçları6 araç

Konu bölümleri

Yansıma Dönüşümünün Temel Özellikleri

Yansıma dönüşümünün özellikleri;

Bir şeklin bir doğruya göre simetrisine o şeklin yansıma dönüşümü altındaki görüntüsü denir.
Yansımanın yapıldığı referans çizgiye simetri doğrusu adı verilir.
Bir nesne ile görüntüsünün simetri doğrusuna olan dik uzaklıkları birbirine eşittir.
Şekil ile yansıma altındaki görüntüsü her zaman eş şekillerdir; kenar, açı ve alan korunur.
Yansıma dönüşümünde şeklin boyutu ve biçimi değişmez, yalnızca yönü tersine döner.

Not Simetri aynası veya asetat kâğıdı kullanılarak şekil ile görüntünün eşliği kontrol edilebilir.

Dikkat Yansıma dönüşümünde şeklin alan ve çevre ölçüsü değişmez, sadece duruş yönü değişir.

Örnek

Bir A noktasının d doğrusuna uzaklığı $8\text{ cm}$ 'dir. A noktasının d doğrusuna göre yansıma altındaki görüntüsü A' noktası olduğuna göre, A ve A' noktaları arasındaki uzaklık kaç cm'dir?

Nokta ile görüntüsünün simetri doğrusuna dik uzaklıkları eşittir.
A noktasının d doğrusuna uzaklığı $8\text{ cm}$ ise A' noktasının da d doğrusuna uzaklığı $8\text{ cm}$ olur.
$|AA'| = 8 + 8 = 16\text{ cm}$ bulunur.

Yansıma Dönüşümü Altında Görüntü Oluşturma

Görüntü oluşturma adımları;

Noktanın görüntüsü, simetri doğrusunun diğer tarafında aynı dik uzaklıkta işaretlenir.
Karşılıklı simetrik noktaları birleştiren doğru parçalarını simetri doğrusu dik ortalar.
Çokgenlerin görüntüsü, köşe noktalarının yansımaları cetvel ve gönye ile birleştirilerek elde edilir.

Örnek

Simetri doğrusuna dik uzaklığı $5\text{ birim}$ olan bir K noktasının simetrik görüntüsü K' noktasıdır. $[KK']$ doğru parçasının simetri doğrusu tarafından ayrıldığı parçalardan birinin uzunluğu $x + 2\text{ birim}$ ise $x$ kaçtır?

Simetri doğrusu karşılıklı simetrik noktaları birleştiren doğru parçasını iki eşit parçaya böler.
Bu durumda simetri doğrusuna olan dik uzaklık $5\text{ birim}$ olduğundan $x + 2 = 5$ olur.
Denklem çözüldüğünde $x = 5 - 2 = 3$ bulunur.

Geometrik Şekillerin Simetri Doğruları ve Oluşan Şekiller

Şekillerin simetri doğruları ve yansıma sonuçları;

Bir şekli iki eş parçaya bölen doğruya simetri doğrusu denir.
Düzgün beşgen $5$ , ikizkenar üçgen ve yarım daire $1$ adet simetri doğrusuna sahiptir.
Çeşitkenar üçgen ve paralelkenar doğruya göre simetrik değildir.
İkizkenar dik üçgenin dik kenarına göre yansıması bir kare oluşturur.
Eşkenar üçgenin bir kenarına göre yansıması eşkenar dörtgen oluşturur.
Diğer ikizkenar ve çeşitkenar üçgenlerin kenarlarına göre yansımaları deltoid oluşturur.

Dikkat Paralelkenarın köşegenleri simetri doğrusu değildir; paralelkenarın doğruya göre simetri doğrusu yoktur.

Örnek

Bir ikizkenar dik üçgenin dik kenarlarından birinin uzunluğu $6\text{ cm}$ 'dir. Bu üçgenin dik kenarına göre yansıma dönüşümü altında görüntüsü ile kendisinin birleşimiyle oluşan kare şeklin alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

İkizkenar dik üçgenin dik kenarına göre yansıması bir kenarı $6\text{ cm}$ olan kare oluşturur.
Kare alan formülü $A = a^2$ bağıntısı ile hesaplanır.
$A = 6^2 = 36\text{ cm}^2$ elde edilir.

İki Eş Şekil Arasındaki Simetri Doğrusunu Belirleme

Simetri doğrusunu inşa etme;

Bir doğru parçasını dik kesen ve iki eşit parçaya bölen doğruya orta dikme denir.
İki eş şeklin karşılıklı noktalarını birleştiren doğru parçalarının orta dikmesi simetri doğrusunu oluşturur.
Bir doğru parçasının simetri doğrusu o doğru parçasının orta dikmesidir.
Bir açının simetri doğrusu o açının aynı zamanda açıortayıdır.

Not Pergel ve ölçüsüz cetvel kullanılarak bir doğru parçasının orta dikmesi ve bir açının açıortayı inşa edilebilir.

Örnek

A ve B eş iki üçgenin karşılıklı köşeleridir. $[AB]$ doğru parçasının uzunluğu $14\text{ cm}$ olarak ölçülmüştür. Bu iki üçgenin simetri doğrusu $[AB]$ doğru parçasını K noktasında kestiğine göre $|AK|$ kaç cm'dir?

Simetri doğrusu karşılıklı noktaları birleştiren doğru parçasının orta dikmesidir.
Orta dikme doğru parçasını iki eşit parçaya böler, dolayısıyla $|AK| = |KB|$ olur.
$|AK| = 14 / 2 = 7\text{ cm}$ bulunur.

Günlük Hayatta, Sanatta ve Doğada Yansıma Dönüşümü

Kullanım alanları ve örnekler;

Kelebek kanatları, kar taneleri ve çiçek yaprakları doğadaki yansıma simetrisine örnektir.
Cami, saray ve köprü mimarisinde yansıma simetrisi yapıya denge ve estetik kazandırır.
Yağcı Bedir ve Gülsarya kilimlerinde hayat ağacı, nazar ve bereket motifleri simetrik işlenir.
Kilim dokumalarındaki hayat ağacı motifi uzun ömürlülüğü, dayanıklılığı, iyilik ve güzelliği temsil eder.
Uçak kanatları ve otomobil gövdelerinde yansıma simetrisi dengeli hareket ve aerodinamik sağlar.

Örnek

Geleneksel bir dokuma kiliminde simetrik olarak tasarlanan Hayat Ağacı motifinin sol tarafındaki dal sayısı $2x + 1$ , sağ tarafındaki simetrik dal sayısı ise $x + 5$ 'tir. Bu motifte toplam kaç dal vardır?

Yansıma simetrisine sahip motiflerde karşılıklı dal sayıları birbirine eşittir.
$2x + 1 = x + 5 \implies 2x - x = 5 - 1 \implies x = 4$ bulunur.
Sol veya sağ daldan biri $2(4) + 1 = 9$ daldır; toplam dal sayısı $9 + 9 = 18$ elde edilir.

Detaylı konu anlatımı

Yansıma Dönüşümünün Temel Özellikleri

Yansıma Dönüşümü ve Simetri

Bir noktanın veya geometrik şeklin bir doğruya göre simetrisine o şeklin yansıma dönüşümü altındaki görüntüsü denir. Bu işlem, şeklin bir çizgi boyunca katlanarak diğer tarafa aktarılması veya bir aynadaki görüntüsünün elde edilmesi esasına dayanır.

Yansıma dönüşümünde kullanılan referans çizgiye simetri doğrusu adı verilir. Bir nesne ile bu nesnenin yansıma dönüşümü altındaki görüntüsünün simetri doğrusuna olan uzaklıkları birbirine eşittir.

Şekil ile Görüntü Arasındaki İlişki

Bir geometrik şekil ile yansıma dönüşümü altındaki görüntüsü her zaman eş şekillerdir. Şeklin kenar uzunlukları, köşe açıları ve alanı yansıma sonrasında kesinlikle değişmez.

Yansıma dönüşümünde şeklin boyutu veya biçimi bozulmazken sadece yönü değişir. Simetri aynası veya asetat kâğıdı kullanılarak yapılan kontrollerde de şekil ile görüntünün tam olarak üst üste bindiği görülür.

Yansıma Dönüşümü Altında Görüntü Oluşturma

Nokta ve Doğru Parçasının Yansıması

Bir noktanın yansıma dönüşümü altındaki görüntüsü bulunurken noktanın simetri doğrusuna olan dik uzaklığı hesaplanır. Görüntü noktası, simetri doğrusunun diğer tarafında aynı dik uzaklıkta işaretlenir.

Bir doğru parçası yansıtılırken uç noktalarının yansıma altındaki görüntüleri tek tek belirlenir. Bulunan bu iki köşe noktası birleştirilerek doğru parçasının görüntüsü elde edilir.

Çokgenlerin Yansıması

Çokgenlerin yansıma dönüşümü altındaki görüntüleri oluşturulurken çokgenin tüm köşe noktalarının simetri doğrusuna göre simetrikleri çizilir. Bu çizimler gönye ve cetvel yardımıyla dik doğrular çizilerek yapılır.

Karşılıklı simetrik noktaları birleştiren doğru parçaları simetri doğrusu tarafından dik olarak ortalanır. Köşe noktalarının simetrileri birleştirilerek verilen çokgenin yansıma altındaki eş görüntüsü tamamlanır.

Geometrik Şekillerin Simetri Doğruları ve Oluşan Şekiller

Geometrik Şekillerde Simetri Doğrusu Sayısı

Bazı geometrik şekiller bir doğru boyunca katlandığında iki eş parçası üst üste biner. Şekli iki eş simetrik parçaya bölen bu doğrulara şeklin simetri doğrusu denir.

Her geometrik şeklin simetri doğrusu bulunmayabilir. Örneğin ikizkenar üçgen ve yarım daire 1 adet, düzgün beşgen ise 5 adet simetri doğrusuna sahipken çeşitkenar üçgen ve paralelkenarın simetri doğrusu yoktur.

Yansıma Yoluyla Yeni Şekiller Oluşturma

Bir üçgenin bir kenarına göre yansıma dönüşümü altındaki görüntüsü alındığında, orijinal üçgen ile görüntüsü birleşerek yeni bir geometrik şekil oluşturur. Oluşan şeklin türü üçgenin kenar özelliklerine bağlıdır.

İkizkenar dik üçgenin dik kenarına göre yansıması bir kare oluşturur. Eşkenar üçgenin bir kenarına göre yansıması eşkenar dörtgen, diğer ikizkenar ve çeşitkenar üçgenlerin yansımaları ise deltoid adı verilen dörtgenleri meydana getirir.

İki Eş Şekil Arasındaki Simetri Doğrusunu Belirleme

Eş Şekillerin Simetrikliği

Verilen iki eş şeklin bir doğruya göre simetrik olup olmadığını anlamak için karşılıklı noktalar arasındaki ilişkiler incelenir. Karşılıklı noktaları birleştiren doğru parçaları belirlenir.

Eğer bu doğru parçalarının tamamı aynı doğru tarafından dik olarak bölünüyor ve eşit uzunluklara ayrılıyorsa bu iki şekil doğruya göre simetrik şekiller olarak adlandırılır.

Simetri Doğrusunu Oluşturma

İki eş şeklin simetri doğrusunu inşa etmek için karşılıklı köşe noktalarını birleştiren doğru parçalarından yararlanılır. Karşılıklı köşe noktalarını birleştiren doğru parçasının orta dikmesi çizilir.

Bir doğru parçasını dik kesen ve onu iki eşit parçaya bölen doğru o doğru parçasının orta dikmesidir. Eş şekillerin karşılıklı noktalarının orta dikmeleri birleştiğinde şekillerin simetri doğrusu elde edilir.

Günlük Hayatta, Sanatta ve Doğada Yansıma Dönüşümü

Doğa ve Mimaride Yansıma

Yansıma dönüşümü doğada ve insan yapımı eserlerde sıklıkla karşılaşılan temel bir simetri türüdür. Doğada kelebek kanatları, kar taneleri ve çiçeklerin taç yaprakları doğruya göre simetrik yapılara sahiptir.

Mimaride cami, saray ve köprü tasarımlarında yansıma simetrisinden faydalanılır. Bu simetri yapılara görsel bir estetik, dengeli bir görünüm ve mimari bir uyum kazandırır.

Sanat, Tasarım ve Teknolojide Kullanım

Geleneksel dokuma kültürümüzde yer alan kilim ve halı motiflerinde yansıma dönüşümü yoğun şekilde kullanılır. Yağcı Bedir ve Gülsarya kilimlerindeki hayat ağacı, nazar veya bereket motifleri simetrik düzenlemelere örnektir.

Teknoloji ve mühendislik alanında uçak kanatları, otomobil gövdeleri ve robot tasarımlarında dengeli hareket sağlayabilmek için yansıma simetrisi esas alınır. Grafik tasarımda ise logo, mozaik ve desen oluşturmada yansımadan yararlanılır.

Konuyu anlama alıştırmaları

Yansıma Dönüşümünün Temel Özellikleri

Karşılaştır: Bir cismin aynadaki yansıma görüntüsü ile kendisinin boyutu, biçimi ve yönü arasındaki farkları kendi sözlerinle ifade et.

Yansıma Dönüşümü Altında Görüntü Oluşturma

Dene: Kareli bir kâğıda bir dik üçgen ve bir simetri doğrusu çizip köşelerin doğruya olan kare sayılarını sayarak simetriğini oluştur.

Geometrik Şekillerin Simetri Doğruları ve Oluşan Şekiller

Düşün: Bir ikizkenar üçgen taban kenarına göre yansıtıldığında elde edilen yeni dörtgenin özelliklerini değerlendir.

İki Eş Şekil Arasındaki Simetri Doğrusunu Belirleme

Günlük Hayattan Bul: Çevrende yan yana duran iki eş nesne gördüğünde bunların birbirinin yansıması olup olmadığını nasıl anlarsın?

Günlük Hayatta, Sanatta ve Doğada Yansıma Dönüşümü

Hayal Et: Otomobil ve uçak tasarımlarında yansıma simetrisi kullanılmasaydı bu durum araçların hareketini nasıl etkilerdi?

Özet

Yansıma Dönüşümü: Bir şeklin bir doğruya göre simetrisinin alınmasıyla elde edilen görüntü dönüşümüdür.
Simetri Doğrusu: Bir şekli veya görüntüyü dik keserek iki eş parçaya ayıran referans çizgisidir.
Eşlik İlişkisi: Geometrik bir şekil ile yansıma dönüşümü altındaki görüntüsü birbirine tamamen eştir.
Yön Değişimi: Yansıma dönüşümünde şeklin boyutu ve biçimi korunur fakat yönü tersine döner.
Simetrik Noktalar: Karşılıklı simetrik noktaları birleştiren doğru parçaları simetri doğrusu tarafından dik ortalanır.
Çokgen Simetri Doğrusu: İkizkenar üçgen bir, düzgün beşgen ise beş farklı simetri doğrusuna sahiptir.
Orta Dikme: Karşılıklı simetrik noktaları birleştiren doğru parçasını dik kesen doğru simetri doğrusunu verir.
Kullanım Alanları: Yansıma dönüşümü mimari, doğa, geleneksel motifler ve uçak tasarımında denge sağlar.

Düşün ve yorumla

Sence doğada ve mimaride yansıma simetrisinin bu kadar yaygın kullanılmasının temel sebebi estetik kaygılar mıdır yoksa fiziksel denge ihtiyacı mıdır?

…soru

Kavrama testi

Ne kadar anladın?

Kavrama testiyle kendini dene. Yarım bıraktığın test kaldığın yerden devam eder.