Matematik · 7. Sınıf

Ünite 6 · Geometrik Nicelikler (2) · Konu 2 / 2

Daire ve Daire Diliminin Alanı

Dairenin ve daire diliminin alan bağıntılarını keşfederek günlük hayattaki dairesel alan ve tarama problemlerini çözme rehberi.

Kazanımlar

MAT.7.4.7Dikdörtgenin, paralelkenarın alanına ve çemberin uzunluğuna ilişkin deneyimlerini dairenin alan bağıntısına yansıtabilme

a)Dikdörtgenin, paralelkenarın alanı ve çemberin uzunluğuna yönelik deneyimlerini gözden geçirir.
b)Dikdörtgenin alan bağıntısı ve çemberin uzunluğundan yola çıkarak dairenin alan bağıntısına yönelik çıkarım yapar.
c)Çıkarımını farklı örnekler üzerinden değerlendirir.

MAT.7.4.8Çemberde merkez açı ve gördüğü yay uzunluğu arasındaki ilişkiden yola çıkarak daire ve daire diliminin alanları arasındaki ilişkiye yönelik analojik akıl yürütebilme

a)Çemberde merkez açı ve gördüğü yay uzunluğu ile daire ve daire diliminin alanı arasındaki ilişkileri gözlemler.
b)Çemberde merkez açı ve gördüğü yay uzunluğu ile daire ve daire diliminin alanı arasındaki ilişkiyi tespit eder.
c)Çemberde merkez açı ve gördüğü yay uzunluğuyla daire ve daire diliminin alanı arasında kurulan ilişkiden hareketle daire diliminin alanına dair çıkarım yapar.

MAT.7.4.10Günlük hayat durumlarında daire, daire dilimi, eşkenar dörtgen ve yamuğun alanına ilişkin problem çözebilme

a)Günlük hayat durumlarında daire, daire dilimi, eşkenar dörtgen ve yamuğun alanlarına ilişkin problemde ilgili matematiksel bileşenleri (şekil, uzunluk, alan, açı, köşegen, yarıçap, yükseklik gibi) belirler.
b)Matematiksel bileşenler arasındaki ilişkileri belirler.
c)Problem bağlamındaki temsilleri farklı temsillere dönüştürür.
ç)Matematiksel temsillere dönüştürdüğü problemi kendi ifadeleri ile açıklar.
d)Problemin sonucuna ilişkin tahminde bulunur ve işlemleri gerçekleştirmek için stratejiler geliştirir.
e)Belirlenen stratejileri çözüm için uygular.
f)Çözüm yollarını kontrol eder ve çözüme ulaştırmayan stratejiyi değiştirir.
g)Problemin çözümü için kullandığı veya geliştirdiği stratejileri gözden geçirerek alternatif çözüm yollarını değerlendirir.
ğ)Kullandığı strateji veya stratejileri farklı problemlerin çözümlerine geneller.
h)Genellemenin geçerliliğini matematiksel örneklerle değerlendirir.

Adım 1 · 4 kavram

Önce kavramları tanı

Konu boyunca bu kavramlar sık geçecek. Metinde kalın yazılan terimler fosforlu kalemle işaretli.

Dairenin Alanı: Yarıçapın karesi ile pi sayısının çarpımıyla elde edilen alan.
Daire Dilimi: Merkez açının kolları arasında kalan sınırlı dairesel bölge.
Merkez Açı: Köşesi dairenin merkezinde olan ve dilim alanını belirleyen açı.
Daire Halkası: Aynı merkezli iki daire arasında kalan dairesel bölge.

Bölüm 1 / 3

Dairenin Alanı

📖 Konu Anlatımı

Çember ile çemberin iç bölgesinin birleşiminden oluşan düzlemsel şekle daire adı verilir. Dairenin alan bağıntısı oluşturulurken çembersel bölge çok sayıda eş dilime ayrılıp yan yana dizilir.

Eş dilimler sonsuz sayıda küçük parçalara bölünüp birleştirildiğinde bir dikdörtgen modeli elde edilir. Oluşan bu dikdörtgenin kısa kenarı yarıçap ( $r$ ), uzun kenarı ise çember çevre uzunluğunun yarısına ( $\pi \cdot r$ ) eşit olur.

Dairenin Alan Bağıntısı

Dikdörtgenin alan bağıntısından yola çıkılarak hesaplanan dairenin alanı, yarıçap uzunluğunun karesi ile $\pi$ sayısının çarpılmasıyla bulunur. Bu bağıntı $A = \pi \cdot r^2$ formülü ile ifade edilir.

Yarıçapı 10 cm olan bir dairede $\pi = 3$ alındığında alan, $3 \cdot 10^2 = 300\text{ cm}^2$ olarak hesaplanır. Çapı 18 cm olan bir dairenin yarıçapı 9 cm olup alanı $3 \cdot 9^2 = 243\text{ cm}^2$ bulunur.

💭 Düşün / Hayal Et / Dene

Dene: Bir kâğıda çizilen daireyi önce 4, sonra 8 ve 16 eş dilime kesip bir ters bir düz biçimde yan yana dizerek hangi geometrik şekle yaklaştığını gözlemleyin.

Bölüm 2 / 3

Daire Diliminin Alanı

📖 Konu Anlatımı

Daire üzerinde merkez açının kolları arasında kalan dairesel bölgeye daire dilimi adı verilir. Daire diliminin alanı, merkez açının ölçüsü ile doğru orantılı olarak değişir.

Tam dairenin merkez açısı 360 derecedir. Daire diliminin kapladığı alan, tüm daire alanının merkez açı oranına ( $\alpha / 360$ ) bölünerek belirlenir.

Daire Diliminin Alan Bağıntısı

Yarıçapı $r$ ve merkez açısı $\alpha$ olan daire diliminin alanı, $A = \pi \cdot r^2 \cdot (\alpha / 360)$ formülü ile hesaplanır.

Yarıçapı 11 cm ve merkez açısı 120 derece olan bir daire diliminde $\pi = 3$ alındığında alan, $3 \cdot 11^2 \cdot (120/360) = 121\text{ cm}^2$ olarak elde edilir. Daire alanı 160 $\text{cm}^2$ ve merkez açısı 45 derece olan dilimin alanı ise $160 \cdot (45/360) = 20\text{ cm}^2$ bulunur.

💭 Düşün / Hayal Et / Dene

Karşılaştır: Yarıçapı sabit tutulup merkez açısı iki katına çıkarılan bir daire dilimi ile merkez açısı sabit tutulup yarıçapı iki katına çıkarılan bir daire diliminin alan değişimlerini inceleyin.

Bölüm 3 / 3

Daire ve Daire Diliminin Alanı ile İlgili Problemler

📖 Konu Anlatımı

Günlük hayatta çim sulama fıskiyeleri, araba silecekleri, dairesel parklar ve radarlar daire dilimi alan hesaplamalarının kullanıldığı temel alanlardır. Bu problemlerde geometrik bileşenler doğru tespit edilmelidir.

İç içe geçmiş aynı merkezli iki daire arasında kalan bölgeye daire halkası denir. Halkanın alanı, büyük dairenin alanından küçük dairenin alanının çıkarılmasıyla hesaplanır.

Birleşik Şekiller ve Taranan Alanlar

Araba sileceklerinin temizlediği alan hesaplanırken dış yarıçapın oluşturduğu daire diliminin alanından, içte kalan silinmeyen dilimin alanı çıkarılır.

Dairesel bölge biçimindeki fıskiyelerin suladığı alan veya yelkovanın belirli sürede taradığı alan, açı ile orantı kurularak daire dilimi formülüyle çözüme ulaştırılır.

💭 Düşün / Hayal Et / Dene

Günlük Hayattan Bul: Çevrenizde dairesel hareket yaparak belirli bir bölgeyi tarayan veya sulayan iki farklı araç veya nesne belirleyin.

Adım 3 · Görsel tekrar

Slaytlarla tekrar et

Konuyu kısa maddelerle, sunum gibi baştan sona gözden geçir.

Slaytlar yükleniyor…

Adım 4

Özet

Daire: Çember ile iç bölgesinin birleşmesiyle oluşan düzlemsel bölgedir.
Dairenin Alanı: Yarıçap uzunluğunun karesi ile pi sayısının çarpılmasıyla hesaplanan büyüklüktür.
Daire Dilimi: Bir dairede merkez açının kolları arasında kalan sınırlı dairesel bölgedir.
Daire Diliminin Alanı: Tüm daire alanının merkez açının üç yüz altmışa oranıyla çarpılmasıdır.
Daire Halkası: Aynı merkezli iki daire arasında kalan bölgenin alan farkıdır.
Merkez Açı Orantısı: Daire diliminin alanı merkez açının ölçüsüyle doğru orantılı olarak değişir.

Düşün ve yorumla

Sence dairesel bir pizzayı satarken yarıçapı iki katına çıkarmak mı yoksa fiyatı iki katına çıkarmak mı tüketici açısından daha avantajlı bir durum oluşturur?

…soru

Ne kadar anladın?

Kavrama testiyle kendini dene. Yarım bıraktığın test kaldığın yerden devam eder.