Matematik 7. Sınıf Konu anlatımı

Ünite 08 İşlemlerle Cebirsel Düşünme ve Değişimler Konu 1/4

Cebirsel İfadelerle İşlemler

Cebirsel ifadelerin temel ögelerini, benzer terimlerle toplama ve çıkarma işlemlerini ve rasyonel sayılarla çarpma kurallarını açıklar.

Kazanımlar

25. Hafta29 Mart – 2 Nisan

MAT.7.2.1 Gerçek yaşam durumları ya da matematiksel durumlar üzerinden cebirsel ifadelerle toplama, çıkarma ve bir rasyonel sayıyla çarpma işlemlerini yorumlayabilme

a Gerçek yaşam durumlarına ya da matematiksel durumlara karşılık gelen cebirsel ifadelerle işlemleri inceler.
b Toplama ve çarpma işlemlerinin özelliklerini, cebirsel ifadelerde işlem yaparken kullanır.
c Bu işlemler ve sonuçları arasındaki denkliği açıklar.

Konu araçları6 araç

Konu bölümleri

Cebirsel İfadelerin Temel Ögeleri

Cebirsel ifadeleri oluşturan nicelikleri ve terim yapılarını doğru çözümlemek işlemlerin temelini oluşturur.

Temel Ögeler;

Bilinmeyen veya değişebilen nicelikleri temsil eden harflere değişken adı verilir.
Toplama ve çıkarma işaretleriyle birbirinden ayrılan her bir ögeye terim denir.
İçerisinde hiçbir değişken barındırmayan terimlere sabit terim denir.

Katsayı ve Benzerlik;

Terimlerde değişkenin önünde çarpım durumunda bulunan sayısal değere katsayı denir.
Değişkenleri ve değişkenlerinin üsleri birebir aynı olan terimlere benzer terim denir.

Not Sabit terim de işaretiyle birlikte bir katsayı olarak kabul edilir.

Dikkat Değişkenleri aynı olsa dahi üsleri farklı olan terimler benzer terim değildir.

Örnek

$3a + 4b^2 - 5a - b + 3ab$ cebirsel ifadesindeki benzer terimleri belirleyip ifadenin katsayılar toplamını hesaplayınız.

Değişkenleri ve üsleri aynı olan $3a$ ile $-5a$ benzer terimlerdir.
İfadenin katsayıları $+3$ , $+4$ , $-5$ , $-1$ ve $+3$ 'tür.
Katsayılar toplamı $3 + 4 + (-5) + (-1) + 3 = 4$ bulunur.

Cebirsel İfadelerle Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Cebirsel ifadeler arasında toplama ve çıkarma işlemleri yalnız aynı türdeki nicelikler arasında yürütülebilir.

İşlem Kuralları;

Cebirsel ifadelerde toplama ve çıkarma işlemleri yalnızca benzer terimler arasında yapılır.
Benzer terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır, ortak değişken sonucun yanına aynen yazılır.
Çıkarma işlemi $a - b = a + (-b)$ kuralı uyarınca çıkan terimin ters işaretlisini eklemektir.

Toplama İşleminin Özellikleri;

Terimlerin yeri değiştiğinde sonuç değişmediğinden değişme özelliği $a + b = b + a$ geçerlidir.
Terimler farklı gruplandırılarak toplanabildiğinden birleşme özelliği $(a + b) + c = a + (b + c)$ vardır.
Sıfır sayısı toplama işleminin etkisiz elemanı olup $a + 0 = a$ biçiminde gösterilir.

Dikkat Benzer olmayan terimler kendi arasında toplanamaz veya çıkarılamaz.

Örnek

$(7m - 2n - m) + (3n - 4m)$ cebirsel ifadesinin en sade eşdeğerini bulunuz.

Birinci parantez içi düzenlenir: $7m - m - 2n = 6m - 2n$ .
İki ifade toplanır: $(6m - 2n) + (3n - 4m)$ .
Benzer terimler işleme sokulur: $(6m - 4m) + (-2n + 3n) = 2m + n$ elde edilir.

Bir Sayı ile Cebirsel İfadeyi Çarpma ve Dağılma Özelliği

Bir sayının cebirsel ifadeyle çarpımı, parantezli ifadeleri parantezsiz denk biçimlerine dönüştürmeyi sağlar.

Çarpma ve Dağılma Özelliği;

Bir cebirsel ifade rasyonel sayıyla çarpılırken sayıyla terimin katsayısı çarpılır, değişken aynen yazılır.
Çarpmanın toplama ve çıkarmaya dağılma özelliği $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ şeklinde uygulanır.
Dağılma özelliğinin tersi uygulanarak ifade ortak çarpan parantezine $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$ alınabilir.

Dikkat Parantez dışındaki çarpan, parantez içindeki yalnızca ilk terimle değil her bir terimle ayrı ayrı çarpılmalıdır.

Örnek

$3 \cdot (2x - 4) + 2 \cdot (x + 5)$ işleminin en sade sonucunu bulunuz.

Dağılma özelliği uygulanır: $3 \cdot 2x - 3 \cdot 4 + 2 \cdot x + 2 \cdot 5 = 6x - 12 + 2x + 10$ .
Benzer terimler gruplanır: $(6x + 2x) + (-12 + 10)$ .
İşlemin sonucu $8x - 2$ olarak bulunur.

Detaylı konu anlatımı

Cebirsel İfadelerin Temel Ögeleri

Değişken

Matematiksel ifadelerde bilinmeyen veya değişebilen nicelikleri temsil etmek için kullanılan harflere değişken adı verilir. Örneğin 2x + 3y - 5 cebirsel ifadesinde yer alan x ve y harfleri birer değişkendir.

Terim ve Sabit Terim

Cebirsel ifadelerde toplama veya çıkarma işaretleriyle birbirinden ayrılan her bir ögeye terim denir. Örneğin -3ab + 2a - 5 ifadesinde -3ab, +2a ve -5 bağımsız birer terimdir.

İçerisinde hiçbir değişken barındırmayan terimlere sabit terim denir. Belirtilen -3ab + 2a - 5 ifadesindeki -5 sayısı bir sabit terimdir.

Katsayı

Terimlerde değişkenin önünde çarpım durumunda bulunan sayısal değere katsayı denir. Sabit terim de işaretiyle birlikte bir katsayı olarak kabul edilir.

Örneğin 2a - 3b + 1 cebirsel ifadesindeki katsayılar +2, -3 ve +1 sayılarıdır. Bu ifadenin katsayılar toplamı 2 + (-3) + 1 = 0 değerine eşittir.

Benzer Terim

Değişkenleri ve değişkenlerinin üsleri tamamen aynı olan terimlere benzer terim adı verilir. Katsayıların farklı olması benzerliği etkilemez.

Örneğin 3a + 4b^2 - 5a - b + 3ab ifadesinde 3a ile -5a benzer terimlerdir. Ancak b ile 4b^2 terimlerinin üsleri farklı olduğu için bu terimler benzer değildir.

Cebirsel İfadelerle Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Benzer Terimlerle İşlem Yapma

Cebirsel ifadelerde toplama ve çıkarma işlemleri yalnızca benzer terimler arasında gerçekleştirilir. Benzer terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır, ortak değişken ise sonucun yanına aynen yazılır.

Örneğin (3a + 5b + a) işleminde benzer olan 3a ile a terimlerinin katsayıları toplanır ve sonuç 4a + 5b olarak bulunur. Benzer olmayan terimler kendi aralarında toplanamaz.

Bir terimden diğer bir terimi çıkarmak, o terime çıkan terimin ters işaretlisini eklemek anlamına gelir. Bu işlem kuralı a - b = a + (-b) biçiminde gösterilir. Örneğin (7m - 2n - m) işleminde benzer terimler çıkarıldığında sonuç 6m - 2n kalır.

Toplama İşleminin Özellikleri

Cebirsel ifadelerde toplama işleminin değişme özelliği vardır. Terimlerin yerleri değiştirildiğinde sonuç değişmez; bu kural a + b = b + a olarak yazılır.

İfadelerde terimlerin farklı gruplandırılarak toplanması sonucu etkilemez, yani birleşme özelliği geçerlidir. Bu durum (a + b) + c = a + (b + c) eşitliğiyle ifade edilir.

Sıfır sayısı cebirsel ifadelerde toplama işleminin etkisiz elemanıdır. Herhangi bir cebirsel ifadeye sıfır eklendiğinde ifadenin değeri korunur; bu kural a + 0 = a biçimindedir.

Bir Sayı ile Cebirsel İfadeyi Çarpma ve Dağılma Özelliği

Bir Rasyonel Sayı ile Çarpma

Bir cebirsel ifade ile bir rasyonel sayı çarpılırken sayının kendisi ile ifadedeki terimin katsayısı çarpılır. Değişken ise bulunan yeni katsayının yanına aynen aktarılır.

Örneğin 2x terimi 5 sayısı ile çarpıldığında katsayı olan 2 ile 5 çarpılır ve sonuç 10x olarak elde edilir.

Dağılma Özelliği

Bir sayı parantez içindeki bir cebirsel ifadeyle çarpılırken çarpma işleminin toplama ve çıkarma üzerindeki dağılma özelliği kullanılır. Dışarıdaki çarpan, parantez içindeki her bir terimle ayrı ayrı çarpılır.

Bu özellik matematiksel olarak a (b + c) = a b + a c ve a (b - c) = a b - a c biçiminde uygulanır. Böylece parantezli cebirsel ifadeler parantezsiz denk biçimlerine dönüştürülür.

Ortak Çarpan Parantezine Alma

Terimlerde ortak bir çarpan bulunduğunda ifade ortak çarpan parantezine alma yöntemiyle yazılabilir. Bu işlem dağılma özelliğinin tersine uygulanmış halidir.

Ortak çarpan kuralı a b + a c = a * (b + c) eşitliği ile gösterilir. Bu yöntem karmaşık cebirsel toplamları daha sade çarpım biçimlerine dönüştürmek için kullanılır.

Konuyu anlama alıştırmaları

Cebirsel İfadelerin Temel Ögeleri

Karşılaştır: Bir cebirsel ifadede yer alan sabit terim ile değişken içeren bir terimin katsayısı arasındaki farkı belirle.

Cebirsel İfadelerle Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Düşün: Bir manavdaki 3 elma ile 2 portakalın neden doğrudan toplanıp tek bir meyve türü olarak yazılamadığını benzer terim kuralıyla açıkla.

Bir Sayı ile Cebirsel İfadeyi Çarpma ve Dağılma Özelliği

Günlük Hayattan Bul: Sabit ücreti 180 TL olan ve her ek kullanım için 30 TL ödenen bir internet tarifesini cebirsel olarak ifade et.

Özet

Değişken: Matematiksel ifadelerde bilinmeyen nicelikleri temsil etmek için kullanılan harflerdir.
Terim: Cebirsel ifadelerde toplama veya çıkarma işaretleriyle birbirinden ayrılan her bir parçadır.
Sabit Terim: İçerisinde hiçbir değişken bulunmayan, sadece sayıdan oluşan bağımsız terimdir.
Katsayı: Terimlerde değişkenin önünde çarpım durumunda bulunan sayısal değerdir.
Benzer Terim: Değişkenleri ve değişkenlerinin üsleri tamamen aynı olan cebirsel terimlerdir.
Toplama Kuralı: Cebirsel ifadelerde benzer terimlerin katsayıları toplanır ve ortak değişken aynen yazılır.
Çıkarma Kuralı: Bir terimden diğerini çıkarmak, o terime çıkan terimin ters işaretlisini eklemektir.
Çarpma Kuralı: Bir rasyonel sayı ile cebirsel ifade çarpılırken katsayı ile sayı çarpılır.
Dağılma Özelliği: Bir çarpanın parantez içerisindeki her terimle ayrı ayrı çarpılması işlemidir.
Ortak Çarpan: Terimlerdeki ortak sayının parantez dışına alınarak ifadenin çarpım biçiminde yazılmasıdır.

Düşün ve yorumla

Sence telefon tarifeleri ya da taksi ücretleri gibi değişken ödemeler cebirsel ifadeler yerine sadece sabit sayılarla belirlenseydi günlük hayatta ne gibi zorluklar yaşanırdı?

…soru

Kavrama testi

Ne kadar anladın?

Kavrama testiyle kendini dene. Yarım bıraktığın test kaldığın yerden devam eder.