Denklem ve Eşitsizlikler

Denklem

İçerisinde en az bir bilinmeyen bulunan ve iki niceliğin birbirine eşit olduğunu belirten ifadelere denklem denir.

Denklemlerde bilinmeyen nicelikler genellikle harflerle temsil edilir. Örneğin 3a = 18, 2x + 8 = 12 veya 6e + 1 = 5e - 9 birer denklemdir.

Gerçek Yaşam Problemlerinde Denklem Kurma

Problem durumlarında verilen ve bilinmeyen nicelikler belirlenerek aralarındaki ilişki matematik diline aktarılır.

Örneğin bir öğrencinin her gün bir önceki günden 3 fazla kelime öğrendiği bir durumda, ilk gün öğrenilen kelime sayısı a ise dördüncü gün sonunda toplam 4a + 18 kelime öğrenilmiş olur. Toplam kelime sayısı 54 olarak bilindiğinde kurulan 4a + 18 = 54 ifadesi bir denklemdir.

Benzer şekilde, hacmi x mL olan 20 küçük bardak ile hacmi 2x - 100 mL olan 12 büyük bardağın eşit miktarda sıvı alması durumu 20x = 12 * (2x - 100) denklemiyle modellenir.

Denklem Çözme

Bir denklemde eşitliği sağlayan bilinmeyen değeri bulmak için yapılan işlemlere denklem çözme denir.

İşlemler sonucunda elde edilen ve eşitliği doğru kılan sayıya ise denklemi sağlayan değer adı verilir.

Eşitliğin Korunumu İlkesi

Bir eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya her iki tarafından aynı sayı çıkarılabilir.

Eşitliğin her iki tarafı sıfırdan farklı aynı sayı ile çarpılabilir ya da aynı sayıya bölünebilir. Bu işlemler uygulandığında eşitliğin korunumu ilkesi gereği matematiksel denge bozulmaz.

Örneğin 2x - 7 = 11 denkleminde eşitliğin her iki tarafına 7 eklendiğinde 2x = 18 eşitliği elde edilir. Ardından her iki taraf 2'ye bölünerek x = 9 bulunur.

Bilinmeyenlerin Bir Tarafta Toplanması

Eşitliğin her iki tarafında da bilinmeyen terimler bulunuyorsa, cebirsel işlemlerle bilinmeyenler bir tarafa, sabit terimler diğer tarafa toplanır.

Örneğin 9 + 4x = 24 - x denkleminde her iki tarafa x eklenip her iki taraftan 9 çıkarıldığında 5x = 15 bağıntısı elde edilir ve x = 3 değerine ulaşılır.

Denklemlerin çözümü bilinmeyenin alabileceği tek bir değer için doğru olabileceği gibi, her değer için doğru veya hiçbir değer için doğru olmayabilir.

Eşitsizlik Kavramı

İçinde küçüktür (<), büyüktür (>), küçük veya eşittir (<=), büyük veya eşittir (>=) sembollerinden en az birini bulunduran ifadelere eşitsizlik denir.

Örneğin bir b sayısının 7'den küçük olması b < 7 ile, 7'ye eşit veya 7'den büyük olması b >= 7 ile gösterilir.

Günlük yaşamda bir öğrencinin takdir belgesi alması için gereken not ortalaması x >= 85 eşitsizliğiyle, güvenli bisiklet hızı ise h <= 25 eşitsizliğiyle ifade edilir.

Eşitsizliklerin Çözüm Kuralları

Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklendiğinde veya her iki tarafından aynı sayı çıkarıldığında eşitsizliğin yönü değişmez.

Eşitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif sayı ile çarpıldığında veya pozitif bir sayıya bölündüğünde de eşitsizlik sembolü yönünü korur.

Negatif Sayı ile İşlem ve Yön Değişimi

Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı negatif sayı ile çarpıldığında veya negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik sembolü yön değiştirir.

Örneğin -3x >= 9 eşitsizliğinde her iki taraf -3 negatif sayısına bölündüğünde sembol ters döner ve çözüm x <= -3 olarak bulunur.

Problem Çözümünde Eşitsizlik

Pratik sınırlamalar içeren durumlarda eşitsizlikler kurularak bilinmeyenin alabileceği değer aralığı tespit edilir.

Genişliği 7x - 12 cm olan büyük boy bir kabın, genişliği 2x + 10 cm olan küçük boy kabı içine alabilmesi için 7x - 12 > 2x + 10 eşitsizliği sağlanmalıdır. Bu bağıntı çözüldüğünde 5x > 22 yani x > 4,4 bulunur ve x'in alabileceği en küçük tam sayı değeri 5 olur.