Matematik 7. Sınıf Konu anlatımı

Ünite 08 İşlemlerle Cebirsel Düşünme ve Değişimler Konu 2/4

Denklem ve Eşitsizlikler

Bilinmeyen içeren eşitlikler ve eşitsizliklerin matematiksel olarak ifade edilmesi, eşitliğin korunumu ve çözüm stratejileri.

Kazanımlar

27. Hafta12 Nisan – 16 Nisan

MAT.7.2.2 Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ve birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik içeren gerçek yaşam problemlerini çözebilme

a Verilen gerçek yaşam problemlerindeki nicelikleri belirler.
b Nicelikler arasındaki eşitlik ve eşitsizlik ilişkilerini belirler.
c Belirlenen nicelikleri cebirsel olarak ifade eder.
ç Belirlenen nicelikleri ve ilişkileri denklem veya eşitsizlik olarak ifade eder.
d Denklem ve eşitsizliklerin çözümünde bir strateji oluşturur.
e Belirlediği stratejiyi çözüm için uygular.
f Çözümün doğruluğunu uygun örnek ve temsiller ile kontrol ederek çözüme ulaştırmayan stratejiyi değiştirir.
g Problemin çözümü için olası farklı çözüm stratejilerini inceler.
ğ Çözüme ulaştıran stratejilerin uyarlanabileceği uygun genelleme ve sınıflamalar yapar.
h Genellemenin geçerliliğini matematiksel örneklerle değerlendirir.

Konu araçları6 araç

Konu bölümleri

Denklem Kavramı ve Denklem Kurma

Denklem Tanımı ve Kurulumu;

İçinde en az bir bilinmeyen bulunan ve iki niceliğin eşitliğini gösteren ifadelere denklem denir.
Denklemdeki bilinmeyen nicelikler harflerle temsil edilir.
Problem durumundaki bilinmeyenler sembolize edilerek matematiksel eşitlikler elde edilmesine denklem kurma denir.

Not Eşitliğin her iki tarafındaki cebirsel ifadeler aynı niceliksel değere karşılık gelmelidir.

Örnek

Hacmi $x\text{ mL}$ olan 20 küçük bardak ile hacmi $2x - 100\text{ mL}$ olan 12 büyük bardağın toplam hacimleri eşittir. Bu durumu gösteren denklemi kurup düzenleyiniz.

Küçük bardakların toplam hacmi $20 \cdot x = 20x\text{ mL}$ olur.
Büyük bardakların toplam hacmi $12 \cdot (2x - 100)\text{ mL}$ olur.
Hacimler eşitliğinden aranan denklem $20x = 12 \cdot (2x - 100)$ yani $20x = 24x - 1200$ biçiminde kurulur.

Eşitliğin Korunumu ve Denklem Çözme

Denklem Çözüm Kuralları;

Denklemde eşitliği sağlayan bilinmeyen değeri bulma işlemine denklem çözme denir.
Denklemi doğru kılan bilinmeyen sayıya denklemi sağlayan değer adı verilir.
Eşitliğin her iki tarafına aynı işlem uygulandığında dengenin bozulmamasına eşitliğin korunumu ilkesi denir.
Çözüm için bilinmeyen terimler eşitliğin bir tarafına, sabit terimler diğer tarafına toplanır.
Bir denklemin tek çözümü olabileceği gibi sonsuz çözümü olabilir veya çözümsüz kalabilir.

Not Eşitliğin korunumu uygulanırken çarpma veya bölme işleminin tüm terimlere dağıtıldığına dikkat edilmelidir.

Örnek

$9 + 4x = 24 - x$ denklemini sağlayan $x$ değerini bulunuz.

Eşitliğin her iki tarafına $x$ eklenerek $9 + 5x = 24$ elde edilir.
Her iki taraftan 9 çıkarılarak $5x = 15$ bulunur.
Her iki taraf 5'e bölünerek $x = 3$ değerine ulaşılır.

Eşitsizlikler ve Eşitsizliklerin Çözümü

Eşitsizlik Kuralları;

İçinde $<, >, \le, \ge$ sembollerinden en az birini içeren matematiksel ifadelere eşitsizlik denir.
Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya her iki tarafından aynı sayı çıkarılabilir.
Pozitif sayı ile çarpma veya bölme işlemlerinde eşitsizlik sembolü yönünü korur.
Eşitsizliğin her iki tarafı negatif sayı ile çarpıldığında veya bölündüğünde sembol yön değiştirir.

Not Eşitsizlik çözümlerinde elde edilen sonuç tek bir değer değil, bir değer aralığıdır.

Dikkat Eşitsizlik pozitif bir sayıyla bölündüğünde sembol yön değiştirmezken, negatif bir sayıyla bölündüğünde sembol ters döner.

Örnek

Genişliği $7x - 12\text{ cm}$ olan büyük kap, genişliği $2x + 10\text{ cm}$ olan küçük kabı içine almaktadır. $x$ 'in alabileceği en küçük tam sayı değerini bulunuz.

$7x - 12 > 2x + 10$ eşitsizliği kurulur.
Her iki taraftan $2x$ çıkarılıp 12 eklenerek $5x > 22$ elde edilir.
Her iki taraf 5'e bölünerek $x > 4{,}4$ bulunur.
$4{,}4$ 'ten büyük en küçük tam sayı değeri 5 olur.

Detaylı konu anlatımı

Denklem Kavramı ve Denklem Kurma

Denklem

İçerisinde en az bir bilinmeyen bulunan ve iki niceliğin birbirine eşit olduğunu belirten ifadelere denklem denir.

Denklemlerde bilinmeyen nicelikler genellikle harflerle temsil edilir. Örneğin 3a = 18, 2x + 8 = 12 veya 6e + 1 = 5e - 9 birer denklemdir.

Gerçek Yaşam Problemlerinde Denklem Kurma

Problem durumlarında verilen ve bilinmeyen nicelikler belirlenerek aralarındaki ilişki matematik diline aktarılır.

Örneğin bir öğrencinin her gün bir önceki günden 3 fazla kelime öğrendiği bir durumda, ilk gün öğrenilen kelime sayısı a ise dördüncü gün sonunda toplam 4a + 18 kelime öğrenilmiş olur. Toplam kelime sayısı 54 olarak bilindiğinde kurulan 4a + 18 = 54 ifadesi bir denklemdir.

Benzer şekilde, hacmi x mL olan 20 küçük bardak ile hacmi 2x - 100 mL olan 12 büyük bardağın eşit miktarda sıvı alması durumu 20x = 12 * (2x - 100) denklemiyle modellenir.

Eşitliğin Korunumu ve Denklem Çözme

Denklem Çözme

Bir denklemde eşitliği sağlayan bilinmeyen değeri bulmak için yapılan işlemlere denklem çözme denir.

İşlemler sonucunda elde edilen ve eşitliği doğru kılan sayıya ise denklemi sağlayan değer adı verilir.

Eşitliğin Korunumu İlkesi

Bir eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya her iki tarafından aynı sayı çıkarılabilir.

Eşitliğin her iki tarafı sıfırdan farklı aynı sayı ile çarpılabilir ya da aynı sayıya bölünebilir. Bu işlemler uygulandığında eşitliğin korunumu ilkesi gereği matematiksel denge bozulmaz.

Örneğin 2x - 7 = 11 denkleminde eşitliğin her iki tarafına 7 eklendiğinde 2x = 18 eşitliği elde edilir. Ardından her iki taraf 2'ye bölünerek x = 9 bulunur.

Bilinmeyenlerin Bir Tarafta Toplanması

Eşitliğin her iki tarafında da bilinmeyen terimler bulunuyorsa, cebirsel işlemlerle bilinmeyenler bir tarafa, sabit terimler diğer tarafa toplanır.

Örneğin 9 + 4x = 24 - x denkleminde her iki tarafa x eklenip her iki taraftan 9 çıkarıldığında 5x = 15 bağıntısı elde edilir ve x = 3 değerine ulaşılır.

Denklemlerin çözümü bilinmeyenin alabileceği tek bir değer için doğru olabileceği gibi, her değer için doğru veya hiçbir değer için doğru olmayabilir.

Eşitsizlikler ve Eşitsizliklerin Çözümü

Eşitsizlik Kavramı

İçinde küçüktür (<), büyüktür (>), küçük veya eşittir (<=), büyük veya eşittir (>=) sembollerinden en az birini bulunduran ifadelere eşitsizlik denir.

Örneğin bir b sayısının 7'den küçük olması b < 7 ile, 7'ye eşit veya 7'den büyük olması b >= 7 ile gösterilir.

Günlük yaşamda bir öğrencinin takdir belgesi alması için gereken not ortalaması x >= 85 eşitsizliğiyle, güvenli bisiklet hızı ise h <= 25 eşitsizliğiyle ifade edilir.

Eşitsizliklerin Çözüm Kuralları

Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklendiğinde veya her iki tarafından aynı sayı çıkarıldığında eşitsizliğin yönü değişmez.

Eşitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif sayı ile çarpıldığında veya pozitif bir sayıya bölündüğünde de eşitsizlik sembolü yönünü korur.

Negatif Sayı ile İşlem ve Yön Değişimi

Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı negatif sayı ile çarpıldığında veya negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik sembolü yön değiştirir.

Örneğin -3x >= 9 eşitsizliğinde her iki taraf -3 negatif sayısına bölündüğünde sembol ters döner ve çözüm x <= -3 olarak bulunur.

Problem Çözümünde Eşitsizlik

Pratik sınırlamalar içeren durumlarda eşitsizlikler kurularak bilinmeyenin alabileceği değer aralığı tespit edilir.

Genişliği 7x - 12 cm olan büyük boy bir kabın, genişliği 2x + 10 cm olan küçük boy kabı içine alabilmesi için 7x - 12 > 2x + 10 eşitsizliği sağlanmalıdır. Bu bağıntı çözüldüğünde 5x > 22 yani x > 4,4 bulunur ve x'in alabileceği en küçük tam sayı değeri 5 olur.

Konuyu anlama alıştırmaları

Denklem Kavramı ve Denklem Kurma

Hayal Et: Bir halter barının her iki tarafında farklı ağırlıkta diskler varken barın tam yatay dengede durduğu anı gözünün önüne getir.

Eşitliğin Korunumu ve Denklem Çözme

Düşün: İki kefesi dengede duran bir terazinin her iki kefesinden de aynı kütlede birer ağırlık alındığında dengenin neden bozulmadığını değerlendir.

Eşitsizlikler ve Eşitsizliklerin Çözümü

Karşılaştır: Bir eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayıya bölmek ile negatif bir sayıya bölmek arasındaki temel kural farkını belirle.

Özet

Denklem: İçerisinde en az bir bilinmeyen bulunan ve eşitlik bildiren matematiksel bağıntıdır.
Bilinmeyen: Denklem ve eşitsizliklerde sayısal değeri aranan ve harflerle temsil edilen niceliktir.
Denklem Çözme: Denklemdeki eşitliği doğru kılan bilinmeyen değeri bulmak için uygulanan işlem basamaklarıdır.
Denklemi Sağlayan Değer: Eşitlikte bilinmeyenin yerine yazıldığında her iki tarafı eşit yapan sayısal çözümdür.
Eşitliğin Korunumu: Eşitliğin her iki tarafına aynı sayının eklenmesi, çıkarılması, çarpılması veya bölünmesiyle dengenin korunmasıdır.
Eşitsizlik: İçinde küçüktür, büyüktür, küçük eşittir veya büyük eşittir sembollerinden birini barındıran matematiksel ifadedir.
Eşitsizlikte Yön Değişimi: Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpıldığında ya da bölündüğünde sembolün yön değiştirmesidir.
Sınır Değeri: Eşitsizlik problemlerinde koşulu sağlayan en küçük veya en büyük tam sayı karşılığıdır.

Düşün ve yorumla

Günlük hayatta bir hedef belirlerken kesin bir denklem kurgulamak mı (örneğin günde tam 50 sayfa kitap okumak), yoksa bir eşitsizlik sınırı koymak mı (örneğin günde en az 30 sayfa kitap okumak) motivasyonu daha olumlu etkiler?

…soru

Kavrama testi

Ne kadar anladın?

Kavrama testiyle kendini dene. Yarım bıraktığın test kaldığın yerden devam eder.