Tam Sayılar

Doğal Başlangıç Noktası

Bir niceliğin hiç bulunmadığını, yani yokluğu ifade eden başlangıç konumuna doğal başlangıç noktası denir. Kütle, hacim, uzunluk ve alan gibi ölçülebilir niceliklerde sıfır değeri, o özelliğin tamamen yok olduğunu gösterir.

Tartının üzerindeki nesne kaldırıldığında ibrenin sıfır kilogramı göstermesi veya telefonda internet paketinin bitip sıfır megabayt kalması doğal başlangıç noktasına örnektir.

Rölatif (Kabule Dayalı) Başlangıç Noktası

Yokluk anlamına gelmeyen, belirli bir durum veya noktayı referans kabul ederek oluşturulan başlangıç konumuna rölatif başlangıç noktası denir. Bu tür başlangıç noktalarında sıfır değeri bir yokluk ifade etmez.

Sıcaklık ölçümünde kullanılan sıfır santigrat derece havanın sıcaklığının yok olduğunu göstermez, suyun donma noktasının referans alındığını belirtir. Benzer şekilde tarih şeridindeki sıfır yılı da zamanın başlangıcı değil, kabul edilmiş bir referans noktasıdır.

Negatif Sayı İhtiyacı

Doğal sayılar kümesinde iki pozitif sayının toplamı daima pozitif bir sayı verir. Yalnızca doğal sayılar kullanılarak pozitif bir sayı ile başka bir sayının toplamını sıfır yapmak mümkün değildir.

Başlangıç noktasının öncesini veya karşıt yönündeki büyüklükleri ifade edebilmek için sayma sayılarının önüne eksi işareti konularak negatif sayılar oluşturulur.

Tam Sayılar Kümesi

Önüne artı işareti konulan veya işaretsiz yazılan sayılara pozitif tam sayılar, önüne eksi işareti konulan sayılara ise negatif tam sayılar denir. Başlangıç noktasını oluşturan sıfır sayısı ne pozitif ne de negatiftir.

Pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar ve sıfır sayısının birleşmesiyle tam sayılar kümesi elde edilir. Doğal sayılar kümesi sıfır ve pozitif tam sayılardan oluştuğu için tam sayılar kümesi doğal sayıları kapsar.

Gerçek Yaşamda Yönlü Sayılar

Gerçek yaşamda zıt yön ve durum ifade eden nicelikler tam sayılarla gösterilir. Deniz seviyesinin üstü, gelir, kâr, alacak ve zemin katın üstü pozitif tam sayılarla temsil edilir.

Deniz seviyesinin altı, gider, zarar, borç, sıfır derecenin altındaki sıcaklıklar ve zemin katın altı negatif tam sayılarla temsil edilir. Örneğin deniz seviyesinin $8\text{ m}$ altı $-8\text{ m}$ olarak ifade edilir.

Sayı Doğrusunda Tam Sayılar

Sayı doğrusu üzerinde sıfır noktası başlangıç noktası veya referans noktası kabul edilir. Pozitif tam sayılar sıfırın sağında, negatif tam sayılar ise sıfırın solunda yer alır.

Sayı doğrusu üzerinde sağa doğru gidildikçe sayıların değeri büyür, sola doğru gidildikçe sayıların değeri küçülür. İki nokta arasındaki mesafe, birim sıçramalar sayılarak hesaplanır.

Mutlak Değer Kavramı

Bir sayının sayı doğrusunda başlangıç noktasına olan uzaklığına mutlak değer denir. Sayının mutlak değeri, sayının yanına çizilen dikey iki çizgi ile gösterilir.

Uzaklık hiçbir zaman negatif bir değer alamayacağı için bir tam sayının mutlak değeri daima sıfır veya pozitif bir sayıdır. Örneğin $-3$ sayısının sıfıra olan uzaklığı $3\text{ birim}$ olduğundan $|-3| = 3$ olur. Sıfır sayısının mutlak değeri ise $|0| = 0$ olarak bulunur.

Rasyonel Sayı Tanımı

$a$ bir tam sayı ve $b$ sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere $a/b$ şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Sıfırdan büyük rasyonel sayılar pozitif, sıfırdan küçük olanlar negatif rasyonel sayılardır.

Bir rasyonel sayıda eksi işareti payın önünde, paydanın önünde veya kesir çizgisinin önünde yer alabilir. Bu üç gösterim de aynı değeri ifade eder.

Tam Sayıların Rasyonel Sayı Temsili

Her tam sayının paydasına $1$ yazılabilir. Paydası $1$ olan bir ifade bölme kuralı gereği sayının kendisine eşit olduğu için her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır.

Örneğin $-8$ tam sayısı $-8/1$ şeklinde yazılabilir. Bu durum rasyonel sayılar kümesinin tam sayılar kümesini ve doğal sayılar kümesini kapsadığını gösterir.