Rasyonel Sayılar ve Farklı Temsilleri

Rasyonel sayıların bölme işlemiyle sonlu ve devirli ondalık gösterimlere dönüştürülmesi ile devirli gösterimlerin rasyonel sayı biçimine çevrilme kurallarını kapsayan ders notudur.

Kazanımlar

MAT.7.1.2Gerçek yaşam durumlarında rasyonel sayıların ondalık gösterimlerini yansıtabilme

a)Bölme işlemini kullanarak her rasyonel sayının bir ondalık gösterimi olduğunu inceler.
b)Rasyonel sayıların ondalık gösterimlerinden bazılarının devirli olduğuna dair çıkarım yapar.
c)Her rasyonel sayının devirli ya da devirsiz ondalık açılımları olduğunu değerlendirir.

Adım 1 · 5 kavram

Önce kavramları tanı

Konu boyunca bu kavramlar sık geçecek. Metinde kalın yazılan terimler fosforlu kalemle işaretli.

Ondalık Gösterim: Bir rasyonel sayının payının paydasına bölünmesiyle elde edilen sayısal temsil biçimidir.
Sonlu Ondalık: En sade hâlindeki paydasında 2 ve 5 dışında asal çarpanı olmayan rasyonel sayıların devirsiz açılımıdır.
Devirli Ondalık: Virgülden sonraki basamakları belirli bir düzende sonsuza kadar tekrarlayan gösterim türüdür.
Devir Çizgisi: Devirli ondalık gösterimlerde tekrar eden basamak grubunun üzerine çizilen semboldür.
Rasyonel Çevrim: Devirli gösterimlerin pay ve payda kuralı uygulanarak a/b biçimine dönüştürülmesidir.

Bölüm 1 / 3

Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi

📖 Konu Anlatımı

Bütün rasyonel sayıların bir ondalık gösterimi vardır. Bir rasyonel sayının ondalık gösterimini bulmak için payı paydasına bölünür.

Örneğin $1/5$ litre hacmindeki bir kutu sütün niceliği, $1$ sayısı $5$ sayısına bölünerek $0,2$ biçiminde ifade edilir. Benzer şekilde $1/4$ cm kalınlığındaki bir madenî paranın kalınlığı $0,25$ cm, $185/2$ g kütlesindeki bir el sabununun kütlesi ise $92,5$ g olarak bulunur.

Pay bölündüğünde kalan sıfır oluyorsa elde edilen bu gösterimlere sonlu ondalık gösterim adı verilir.

💭 Düşün / Hayal Et / Dene

Günlük Hayattan Bul: Etrafınızda paketli bir gıda ürününün veya içeceğin üzerinde kesirli ya da ondalık gösterimle ifade edilmiş ölçü değerlerini inceleyin.

Bölüm 2 / 3

Devirli Ondalık Gösterim ve Paydanın Asal Çarpanları

📖 Konu Anlatımı

Bir rasyonel sayı en sade hâlde yazıldığında paydasında $2$ veya $5$ dışında bir asal çarpan varsa bölme işlemi sonlanmaz ve sayılar tekrar eder. Virgülden sonraki basamakları belirli bir düzende sonsuza kadar tekrarlayan bu tür gösterimlere devirli ondalık gösterim denir.

Örneğin $1/3$ litre hacmindeki su şişesinin değeri bölündüğünde $0,333...$ elde edilir ve tekrar eden sayı üzerine çizgi konularak $0,\bar{3}$ şeklinde gösterilir. Pinpon topunun $30/11$ g olan kütlesi $2,7272...$ olup $2,\bar{72}$ biçiminde yazılır.

Bir rasyonel sayı en sade hâline getirildikten sonra paydasının asal çarpanlarına bakılır. Paydada yalnızca $2$ veya $5$ asal çarpanı bulunuyorsa gösterim sonlu ondalık; $2$ veya $5$ dışında başka bir asal çarpan yer alıyorsa gösterim devirli ondalıktır.

💭 Düşün / Hayal Et / Dene

Karşılaştır: Paydasında sadece 2 çarpanı olan $1/4$ sayısı ile paydasında 3 çarpanı olan $1/3$ sayısının bölme işlemlerini ve basamak durumlarını inceleyin.

Bölüm 3 / 3

Devirli Ondalık Gösterimleri Rasyonel Sayıya Çevirme

📖 Konu Anlatımı

Devirli ondalık gösterimlerin $a/b$ biçimindeki rasyonel sayı karşılığını bulmak için belirli bir kural uygulanır. Virgül ve devir işareti dikkate alınmadan sayının tamamından devretmeyen kısım çıkarılarak pay oluşturulur.

Payda için ise virgülden sonraki devreden basamak sayısı kadar $9$ , devretmeyen basamak sayısı kadar $0$ yazılır.

Örneğin $0,1\bar{7}$ sayısı $(17-1)/90 = 16/90$ rasyonel sayısına eşittir. Negatif devirli sayılarda ise eksi işareti kesrin önüne konur; $-2,\bar{8}$ gösterimi $-(28-2)/9 = -26/9$ biçiminde rasyonel sayıya dönüştürülür.

Özel bir durum olarak $0,\bar{9}$ devirli sayısı kurala göre $(9-0)/9 = 9/9 = 1$ tam sayısına eşit olur.

💭 Düşün / Hayal Et / Dene

Düşün: Devir çizgisi sadece $9$ rakamının üzerinde olan $0,\bar{9}$ sayısının neden tam olarak $1$ sayısına eşit olduğunu kural üzerinden değerlendirin.

Adım 3 · Görsel tekrar

Slaytlarla tekrar et

Konuyu kısa maddelerle, sunum gibi baştan sona gözden geçir.

Slaytlar yükleniyor…

Adım 4

Özet

Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi: Her rasyonel sayı payın paydaya bölünmesiyle bir ondalık gösterim olarak ifade edilir.
Sonlu Ondalık Gösterim: En sade rasyonel sayının paydasında iki veya beş dışında asal çarpan yoksa elde edilir.
Devirli Ondalık Gösterim: Virgülden sonraki basamakları belirli bir düzende sonsuza kadar tekrarlayan ondalık gösterim türüdür.
Devir Çizgisi: Devirli ondalık gösterimlerde tekrar eden basamak veya basamak grubunun üzerine konulan semboldür.
Payda Asal Çarpan Kuralı: En sade rasyonel sayının paydasında iki veya beş dışında asal çarpan varsa gösterim devirlidir.
Devirli Gösterim Çevrim Kuralı: Paya sayının tamamından devretmeyen kısım çıkarılarak, paydaya devreden kadar dokuz ve devretmeyen kadar sıfır yazılır.

Düşün ve yorumla

Günlük yaşamda fiyat veya kütle gibi nicelikleri ifade ederken devirli ondalık gösterimler yerine neden genellikle sonlu ondalık gösterimler ve yuvarlatılmış değerler tercih edilir?

…soru

Ne kadar anladın?

Kavrama testiyle kendini dene. Yarım bıraktığın test kaldığın yerden devam eder.

Sayılar Ve Nicelikler (1)Rasyonel Sayılar ve Farklı Temsilleri