Matematik 7. Sınıf Konu anlatımı

Ünite 06 Sayılar ve Nicelikler (2) Konu 3/3

Doğru Orantılı Durumlara İlişkin Problem Çözme

Doğru orantılı nicelikleri belirleme, oran tabloları oluşturma, içler-dışlar çarpımı ve ölçek problemlerini çözme rehberi.

Kazanımlar

22. Hafta1 Mart – 5 Mart

MAT.7.1.7 Gerçek yaşam durumları üzerinden doğru orantılı durumlara ilişkin problemleri çözebilme

a Doğru orantılı durumlara ilişkin problemlerde nicelikleri belirler.
b Doğru orantılı durumlar arasındaki ilişkileri belirler.
c Bu ilişkileri tablo ve grafik temsillerine dönüştürür.
ç Dönüştürdüğü temsillerin problem bağlamındaki anlamını ifade eder.
d Elde ettiği ve yorumladığı farklı temsillere dayalı olarak problemin çözümü için stratejiler oluşturur.
e Belirlediği stratejileri kullanır.
f Elde ettiği çözümü farklı stratejileri kullanarak doğrular.
g Problemin olası farklı çözüm stratejilerini inceler.
ğ Kullandığı strateji veya stratejileri farklı problemlerin çözümlerine geneller.
h Genellemenin geçerliliğini matematiksel örneklerle değerlendirir.

Konu araçları6 araç

Konu bölümleri

Doğru Orantılı Nicelikler ve Tablo Temsili

Doğru orantılı durumlarda iki nicelik arasındaki çarpımsal ilişki korunur ve orantı sabiti kullanılarak hesaplama yapılır.

Doğru orantı ve oran tablosu;

İki nicelikten biri belirli bir çarpımsal oranda artarken diğeri de aynı oranda artar veya azalır.
Aynı yönlü ve sabit çarpımsal ilişkiye sahip bu iki büyüklüğe doğru orantılı nicelikler denir.

Orantı sabiti ve hesaplama;

Doğru orantılı niceliklerin birbirine bölümü sabittir ve bu değere orantı sabiti denir.
Bir oran tablosu üzerindeki tüm veri çiftlerinde orantı sabiti aynı kalır.

Not Biri artarken diğeri de artan her ilişki doğru orantı değildir; niceliklerin birbirine bölümünün sabit olması şarttır.

Dikkat Yaş veya zamanla sabit artan bazı durumlar toplamsal ilişki içerir, doğru orantı oluşturmaz.

Örnek

Bir musluk 6 dakikada $27\text{ L}$ su doldurmaktadır. Musluğun aynı hızla $405\text{ L}$ suyu kaç dakikada dolduracağını bulunuz.

Dakikadaki su miktarı (orantı sabiti): $27 \div 6 = 4,5\text{ L/dk}$
Geçen süre: $405 \div 4,5 = 90\text{ dakika}$
Cevap 90 dakikadır.

İçler-Dışlar Çarpımı ve Çözüm Stratejileri

Doğru orantı problemlerinde bilinmeyen nicelikler içler-dışlar çarpımı veya kat katsayısı yöntemiyle hesaplanır.

İçler-dışlar çarpımı kuralı;

Eşit iki oranın yer aldığı $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ifadesinde çapraz terimlerin çarpımları birbirine eşittir.
Orantı denkleminde $a \cdot d = b \cdot c$ kuralına içler-dışlar çarpımı adı verilir.
Bilinmeyen nicelik, çapraz çarpım eşitliğinden denklem kurma yöntemiyle hesaplanır.

Kat ilişkisi ve paylaştırma;

Orantıdaki nicelikler arasındaki yatay veya dikey kat ilişkisi kullanılarak zihinden hızlı doğrulama yapılabilir.
Bir bütün orantılı paylaştırılırken oran terimleri ortak kat katsayısı ( $k$ ) ile ifade edilip toplanır.

Dikkat İçler-dışlar çarpımında terimlerin doğru konumlandırılması için aynı tür niceliklerin aynı hizaya yazılması gerekir.

Örnek

Bir çiftçi 35 domates fidesini iki bahçesine $3:4$ oranında paylaştıracaktır. Çok fide dikilen bahçeye kaç fide düşer?

Toplam kat miktarı: $3k + 4k = 7k$
Kat katsayısı: $7k = 35 \Rightarrow k = 5$
Çok fide olan bahçe: $4 \cdot 5 = 20\text{ fide}$
Cevap 20 fidettir.

Yüzde, Ölçek ve Model Problemleri

Yüzde, harita ölçeği ve büyütme-küçültme modelleri temel orantı ilkeleriyle çözülen doğru orantı uygulamalarıdır.

Yüzde problemleri;

Yüzde hesaplamaları, temelinde paydası $100$ olan bir doğru orantı denkliğidir.
İndirim veya zam miktarı bütüne oranlanarak orantı mantığıyla hesaplanır.

Ölçek ve modelleme;

Çizim veya maket uzunluğunun gerçek uzunluğa bölümüyle elde edilen sabit orana ölçek denir.
Plan ve maketlerde nesnelerin tüm boyutları aynı ölçek oranı korunarak küçültülür veya büyütülür.

Not Mikroskop gibi büyütme modellerinde ölçek oranı $A:1$ şeklinde verilirken haritalarda $1:A$ şeklinde küçültme yapılır.

Dikkat Ölçek hesaplamalarında harita ya da maket uzunluğu ile gerçek uzunluğun birimlerinin aynı cins yapılması unutulmamalıdır.

Örnek

$4600\text{ m}$ uzunluğundaki bir köprünün $230\text{ cm}$ 'lik maketi yapılmıştır. Bu köprünün $318\text{ m}$ yüksekliğindeki kulesi makette kaç cm olur?

$1\text{ cm}$ maketin temsil ettiği gerçek uzunluk: $4600 \div 230 = 20\text{ m}$
Kulenin maketteki boyu: $318 \div 20 = 15,9\text{ cm}$
Cevap $15,9\text{ cm}$ 'dir.

Detaylı konu anlatımı

Doğru Orantılı Nicelikler ve Tablo Temsili

Nicelikleri Belirleme ve Değişim Yönü

Doğru orantılı durumlarda iki nicelikten biri belirli bir çarpımsal oranda artarken diğeri de aynı oranda artar ya da biri azalırken diğeri aynı oranda azalır. Problem çözerken ilk aşama, birbiriyle ilişkili biçimde değişen doğru orantılı nicelikler grubunu netleştirmektir.

Örneğin sabit çalışma hızına sahip bir pastanenin çalışma süresi ile ürettiği poğaça sayısı arasında doğru orantı bulunur. Fırın 4 saatte 120 poğaça pişirdiğinde süre uzadıkça pişirilen poğaça miktarı da aynı kat oranında artış gösterir.

Tablo Gösterimi ve Orantı Sabiti

Nicelikler arasındaki ilişki bir oran tablosu üzerinde gösterilerek daha rahat analiz edilir. Tabloda alt alta ya da yan yana dizilen niceliklerin birbirine bölümü her zaman sabit bir değere eşittir.

Pastane probleminde pişirilen poğaça miktarının geçen süreye oranı 120 / 4 = 30 değerini verir. Ortaya çıkan bu sabit sonuca orantı sabiti adı verilir ve tablodaki tüm veri çiftlerinde aynı kalır.

Tablodaki orantı sabiti sayesinde yeni sürelerdeki üretim kolayca hesaplanır. Fırın 7 saat çalıştığında üretilen poğaça adedi 7 x 30 = 210 poğaça olarak bulunur.

İçler-Dışlar Çarpımı ve Çözüm Stratejileri

İçler-Dışlar Çarpımı Kuralı

İki oranın birbirine eşitlendiği a/b = c/d orantı ifadesinde çapraz terimlerin çarpımları birbirine eşittir. Matematikte bu kurala içler-dışlar çarpımı adı verilir ve a . d = b . c biçiminde gösterilir.

Orantıda bilinmeyen bir nicelik bulunduğunda içler-dışlar çarpımı yapılarak denklem kurulur. Örneğin x/6 = 14/42 orantısında 42 . x = 6 . 14 eşitliği yazılır ve buradan x değeri 2 olarak hesaplanır.

Kat İlişkisi ve Orantılı Paylaştırma

Problemler içler-dışlar çarpımı yerine terimler arasındaki yatay veya dikey kat ilişkisi kullanılarak da çözülebilir. Bir nicelik kaç katına çıkmışsa diğer niceliğin de aynı katı alınarak zihinden hızlı doğrulama yapılabilir.

Bütünün belirli oranlara göre paylaştırıldığı sorularda ise ortak bir kat katsayısı belirlenir. Örneğin 35 domates fidesi iki çiftçiye 3:4 oranında paylaştırılacaksa toplam parça 3k + 4k = 7k olarak ifade edilir. Toplam 35 fide 7'ye bölünerek k = 5 bulunur; birinci çiftçi 3 x 5 = 15 fide, ikinci çiftçi 4 x 5 = 20 fide alır.

Yüzde, Ölçek ve Model Problemleri

Yüzde Problemlerinde Doğru Orantı

Yüzde hesaplamaları, temelinde paydası 100 olan bir doğru orantı denkliği barındırır. Bir bütünün belirtilen bir yüzdesini bulmak ya da parçanın bütüne oranını yüzde cinsinden ifade etmek orantı mantığıyla gerçekleştirilir.

Örneğin bir tesiste arıtılan 80 ton atık sudan 28 ton temiz su elde edildiğinde arıtma oranı 28/80 = x/100 orantısı kurularak %35 olarak bulunur. Benzer şekilde 24.000 TL değerindeki bir ürüne uygulanan %15 indirim tutarı 3.600 TL olarak hesaplanır ve indirimli satış fiyatı 20.400 TL olur.

Ölçek ve Büyütme-Küçültme Modelleri

Harita, plan ve maket çalışmalarında çizimdeki uzunluğun gerçek uzunluğa bölünmesiyle elde edilen sabit orana ölçek denir. Gerçek nesnelerin tüm boyutları aynı ölçek oranı korunarak küçültülür ya da mikroskop altındaki varlıklar aynı oranda büyütülür.

1915 Çanakkale Köprüsü'nün 4600 metrelik uzunluğu 230 santimetrelik bir maketle gösterildiğinde aynı köprünün 318 metrelik kule yüksekliği doğru orantı ile makette 15,9 santimetre olur.

Mikroskopta 8000:1 büyütme oranıyla incelenen 2 mikrometrelik bir bakteri hücresi görüntüsü de doğru orantı kuralıyla 16 milimetre boyutunda ölçülür.

Konuyu anlama alıştırmaları

Doğru Orantılı Nicelikler ve Tablo Temsili

Düşün: Bir otomobilin sabit hızla giderken tükettiği yakıt miktarı ile aldığı yol arasındaki ilişkiyi gösteren bir tablo hazırlarken hangi iki niceliği seçersin?

İçler-Dışlar Çarpımı ve Çözüm Stratejileri

Karşılaştır: Bir orantı probleminde içler-dışlar çarpımı yapmak ile sayılar arasındaki kat ilişkisini kullanmak arasındaki işlem farkını incele.

Yüzde, Ölçek ve Model Problemleri

Günlük Hayattan Bul: Bir evin mimari kat planında odaların gerçek boyutlarını hesaplamak için hangi orantı bilgisinden yararlanıldığını açıkla.

Özet

Doğru orantı: İki nicelikten birinin arttığı oranda diğerinin de artması ya da birinin azaldığı oranda diğerinin de azalması durumudur.
Orantı sabiti: Doğru orantılı iki niceliğin birbirine bölünmesi sonucunda elde edilen değişmez çarpımsal değerdir.
İçler-dışlar çarpımı: İki oranın eşitliğinde çapraz konumdaki terimlerin çarpımlarının birbirine eşit olması kuralıdır.
Kat ilişkisi: Orantıyı oluşturan terimler arasındaki yatay ya da dikey katların eşitliğine dayanan işlem stratejisidir.
Orantılı paylaştırma: Bir miktarın belirli oranların katları biçiminde parçalara ayrılması işlemidir.
Yüzde oranı: Bir büyüklüğün yüz birimlik referans bütüne göre orantılanmasıdır.
Ölçek: Çizim, model veya haritadaki uzunluğun temsil ettiği gerçek uzunluğa bölünmesiyle kurulan sabit orandır.

Düşün ve yorumla

Sence bir mimari projede maket hazırlanırken ölçek oranına tam uyulmaması inşaat sürecinde ne gibi hatalara yol açabilir?

…soru

Kavrama testi

Ne kadar anladın?

Kavrama testiyle kendini dene. Yarım bıraktığın test kaldığın yerden devam eder.