Matematik 7. Sınıf Konu anlatımı

Ünite 06 Sayılar ve Nicelikler (2) Konu 2/3

Orantılı Durumlar

7. Sınıf Matematik dersi Orantılı Durumlar konusunda orantı kavramı, doğru orantı ve ters orantı ilişkileri ile gerçek yaşam durumları incelenmektedir.

Kazanımlar

21. Hafta22 Şubat – 26 Şubat

MAT.7.1.6 Gerçek yaşam durumları üzerinden orantılı durumları yorumlayabilme

a Gerçek yaşam durumlarında iki durumun orantılı olup olmadığını inceler.
b Orantılı olan iki durumun ilişkisini temsiller ile ifade eder.
c Orantı kavramını kendi ifadeleriyle yeniden açıklar.

Konu araçları6 araç

Konu bölümleri

Orantı Kavramı ve Nicelikler Arasındaki İlişkiler

İki nicelik arasındaki ilişkinin orantı oluşturabilmesi için aralarında sabit bir çarpımsal bağ bulunmalıdır.

İki farklı oranın birbirine eşit olmasına orantı denir.
Orantı oluşması için nicelikler arasında sabit bir çarpımsal ilişki bulunmalıdır.
Niceliklerin sabit bir sayıyla artıp azalması gibi toplamsal ilişkiler orantı belirtmez.
Yaş farkı veya nesnelerin sabit kuruma süresi gibi durumlar orantı oluşturmaz.

Dikkat Artış veya azalışın olması orantı için yeterli değildir; ilişkinin sabit bir kat oranında olması gerekir.

Örnek

Bir fidanın boyu dikildiğinde $10\text{ cm}$ olup her yıl $5\text{ cm}$ uzamaktadır. Fidanın $2$ . yıl ve $4$ . yıl sonundaki boylarının orantı oluşturup oluşturmadığını bulunuz.

$2$ . yıl sonundaki boy: $10 + 2 \cdot 5 = 20\text{ cm}$ olup boyunun yıla oranı $\frac{20}{2} = 10$ 'dur.
$4$ . yıl sonundaki boy: $10 + 4 \cdot 5 = 30\text{ cm}$ olup boyunun yıla oranı $\frac{30}{4} = 7{,}5$ 'tir.
$\frac{20}{2} \neq \frac{30}{4}$ olduğundan oranlar eşit değildir ve durum orantı oluşturmaz.

Doğru Orantılı Durumlar

İki nicelikten biri artarken diğeri aynı oranda artıyorsa bu nicelikler doğru orantılıdır.
Doğru orantılı iki niceliğin birbirine bölümü sabittir ve bu değere orantı sabiti ( $k$ ) denir.
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ doğru orantısında içler-dışlar çarpımı $a \cdot d = b \cdot c$ eşittir.
Sabit hızla alınan yol ile tüketilen yakıt doğru orantılı niceliklere örnektir.

Örnek

Bir arıtma filtresi $6\text{ dakikada } 27\text{ L}$ su arıtmaktadır. Aynı filtre ile $180\text{ L}$ su arıtmak için kaç dakika geçmesi gerektiğini bulunuz.

Dakika ile arıtılan su miktarı doğru orantılı olduğundan $\frac{6}{27} = \frac{x}{180}$ orantısı kurulur.
İçler-dışlar çarpımı yapıldığında $27 \cdot x = 6 \cdot 180$ elde edilir.
$27 \cdot x = 1080$ denkleminden $x = \frac{1080}{27} = 40\text{ dakika}$ bulunur.

Ters Orantılı Durumlar

İki nicelikten biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa bu nicelikler ters orantılıdır.
Ters orantılı iki niceliğin çarpımı daima sabittir ( $a \cdot b = k$ ).
Özdeş musluk sayısı arttıkça deponun dolma süresi aynı oranda azalır.
Bisiklet jantındaki tel sayısı ile ardışık teller arasındaki açı ters orantılıdır.

Dikkat Doğru orantıda niceliklerin bölümü sabitken, ters orantıda niceliklerin çarpımı sabittir.

Örnek

Bir bisiklet jantında $4$ adet tel varken ardışık teller arasındaki açı $90^\circ$ 'dir. Tel sayısı $8$ 'e çıkarıldığında ardışık teller arasındaki açının kaç derece olacağını bulunuz.

Jant teli sayısı ile teller arasındaki açı ters orantılı olduğundan çarpımları sabittir ( $x \cdot y = k$ ).
$k = 4 \cdot 90^\circ = 360^\circ$ olarak hesaplanır.
Yeni durum için $8 \cdot y = 360^\circ$ denkleminden $y = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$ bulunur.

Detaylı konu anlatımı

Orantı Kavramı ve Nicelikler Arasındaki İlişkiler

Orantı

İki farklı oran arasındaki çarpımsal eşitliğe orantı denir. İki nicelik arasındaki ilişkinin orantı oluşturabilmesi için aralarında sabit bir çarpımsal oranın bulunması gerekir.

Günlük hayatta karşılaşılan her durum orantı belirtmez. Örneğin bir kişinin yaşı ile boy uzunluğu ya da kitap sayısı ile okuma süresi arasında sabit bir çarpımsal ilişki bulunmaz.

Bir tişörtün kuruma süresi ile aynı ortamdaki on tişörtün kuruma süresi aynıdır. Zamanla değişmeyen bu tür durumlar veya yaş farkı gibi sabit toplamsal ilişkiler orantı oluşturmaz.

Doğru Orantılı Durumlar

Doğru Orantı

İki nicelikten biri artarken diğerinin de aynı oranda artması veya biri azalırken diğerinin aynı oranda azalması durumuna doğru orantı denir. Nicelikler arasında aynı yönlü ve sabit bir çarpımsal ilişki mevcuttur.

Doğru orantılı iki niceliğin birbirine oranı daima sabittir ve bu sabit değere orantı sabiti denir. Örneğin bir ürünün miktarı arttıkça ödenen toplam tutar aynı oranda artar.

Sabit hızla ilerleyen bir aracın aldığı yol ile tükettiği yakıt miktarı doğru orantılıdır. Arıtma filtresinin çalışma süresi arttıkça arıtılan su miktarı da aynı kat oranında çoğalır.

Ters Orantılı Durumlar

Ters Orantı

İki nicelikten biri artarken diğerinin aynı oranda azalması veya biri azalırken diğerinin aynı oranda artması durumuna ters orantı denir. Nicelikler arasında zıt yönlü ve sabit bir çarpımsal ilişki yer alır.

Ters orantılı iki niceliğin çarpımı daima sabittir. Örneğin sabit bir gider birden fazla kişi tarafından eşit paylaşıldığında kişi sayısı arttıkça kişi başına düşen pay aynı oranda azalır.

Bir havuzu dolduran özdeş muslukların sayısı veya akış hızı arttıkça havuzun dolma süresi yarıya iner. Benzer şekilde bisiklet jantındaki tel sayısı arttıkça ardışık teller arasındaki açı küçülür.

Konuyu anlama alıştırmaları

Orantı Kavramı ve Nicelikler Arasındaki İlişkiler

Günlük Hayattan Bul: Çevrenizde bir nicelik artarken diğerinin sabit kaldığı veya orantısız değiştiği bir durum bulunuz.

Doğru Orantılı Durumlar

Karşılaştır: Doğru orantılı iki nicelik arasındaki ilişki ile sadece toplamsal olan ilişki arasındaki temel farkı ifade ediniz.

Ters Orantılı Durumlar

Düşün: Bir işin bitirilme süresi ile çalışan işçi sayısı arasındaki ilişkiyi ters orantı kavramıyla açıklayınız.

Özet

Orantı: Aynı çarpımsal ilişkiye sahip iki oranın eşitliği olarak tanımlanır.
Doğru Orantı: Biri artarken diğeri aynı oranda artan aynı yönlü nicelikler arasındaki ilişkidir.
Ters Orantı: Biri artarken diğeri aynı oranda azalan zıt yönlü nicelikler arasındaki ilişkidir.
Orantı Sabiti: Orantılı niceliklerin bölümlerinde veya çarpımlarında sabit kalan değerdir.
Orantısız Durumlar: Yaş farkı veya sabitleşmiş zaman ölçümleri gibi çarpımsal oran içermeyen durumları ifade eder.

Düşün ve yorumla

Sence bir şehirde nüfus arttıkça oluşan atık miktarı ile bu atıkların geri dönüştürülme oranı her zaman doğru orantılı mıdır?

…soru

Kavrama testi

Ne kadar anladın?

Kavrama testiyle kendini dene. Yarım bıraktığın test kaldığın yerden devam eder.