Matematik 7. Sınıf Konu anlatımı

Ünite 06 Sayılar ve Nicelikler (2) Konu 1/3

Oran

İki niceliğin çarpımsal karşılaştırmasını, birimli ve birimsiz oran türlerini, denk oranları ve birim oran modellerini inceleyen temel matematik rehberi.

Kazanımlar

20. Hafta15 Şubat – 19 Şubat

MAT.7.1.5 Gerçek yaşam durumları üzerinden oran ilişkileri hakkında muhakeme yapabilme

a Gerçek yaşam durumları üzerinden iki niceliğin karşılaştırılmasında toplamsal (mutlak) ve çarpımsal (bağıl) ilişkileri ayırt eder.
b Gerçek yaşam durumları üzerinden oranın iki niceliğin çarpımsal ilişkiler kurularak karşılaştırılması olduğunu belirler.
c Çözümlediği gerçek yaşam durumlarının içerdiği oranı birimli ve birimsiz oran olarak ifade eder.
ç Birimli ve birimsiz oranı kendi ifadeleriyle açıklar.
d Yorumladığı gerçek yaşam durumundaki ilişkilere dayalı olarak denk orana ve birim orana ilişkin varsayımlarda bulunur.
e Varsayımındaki örneklere ait ilişkileri inceleyerek denk oran ve birim orana ilişkin genellemeleri belirler.
f Elde ettiği genellemelerin varsayımını karşılayıp karşılamadığını çeşitli temsiller (oran tabloları, çubuk diyagramı, çift sayı doğrusu, grafik, somut materyaller) ile sınar.
g Varsayımı ile ilgili ulaştığı sonuca yönelik doğrulayabileceği matematiksel bir önermeyi sunar.
ğ Sunduğu önermenin katkısına yönelik gerekçeler sunar.

Konu araçları6 araç

Konu bölümleri

Toplamsal ve Çarpımsal Karşılaştırma

İki nicelik karşılaştırılırken toplamsal veya çarpımsal ilişkiler kullanılır.

Karşılaştırma türleri;

Toplama veya çıkarma ile iki niceliğin mutlak farkını bulmaya toplamsal ilişki denir.
Çarpma veya bölme ile niceliklerin bağıl karşılaştırmasını yapmaya çarpımsal ilişki denir.
Çarpımsal ilişki bir niceliğin diğerinin kaç katı olduğunu gösterir.

Not İki nicelik arasındaki kat ilişkisi sabittir ancak mutlak fark duruma göre değişiklik gösterebilir.

Dikkat Toplamsal ilişki mutlak miktarı gösterirken çarpımsal ilişki kat oranını belirtir.

Örnek

Çağan $36$ dakika, Ali $12$ dakika koşmuştur. Çağan'ın Ali'den kaç dakika fazla koştuğunu ve kaç katı süre koştuğunu bulunuz.

Toplamsal fark: $36 - 12 = 24$ dakika fazladır.
Çarpımsal fark: $36 / 12 = 3$ katıdır.
Çağan $24$ dakika fazla ve $3$ katı süre koşmuştur.

Oran Kavramı ve Gösterimi

Oran özellikleri ve gösterimi;

Çarpımsal ilişki içeren iki niceliğin bölme yoluyla karşılaştırılmasına oran denir.
$a$ niceliğinin $b$ niceliğine oranı $a:b$ veya $\frac{a}{b}$ şeklinde gösterilir.
Oranda niceliklerin sıralaması önemlidir; pay ve payda yer değiştirirse oran değişir.
Oran, iki parça arasında kurulabileceği gibi parça-bütün ilişkisini de ifade edebilir.

Dikkat $a$ 'nın $b$ 'ye oranı $\frac{a}{b}$ iken $b$ 'nin $a$ 'ya oranı $\frac{b}{a}$ olur; yazım sırasına dikkat edilmelidir.

Örnek

Bir kuş gözlem alanında $5$ akbalıkçıl ve $3$ arı kuşu bulunmaktadır. Arı kuşu sayısının tüm kuşların sayısına oranını bulunuz.

Tüm kuşların sayısı: $5 + 3 = 8$ kuş.
Arı kuşlarının tüm kuşlara oranı: $\frac{3}{8}$ olarak bulunur.

Birimli ve Birimsiz Oran

Oran çeşitleri;

Aynı ölçü birimine sahip iki niceliğin karşılaştırılmasıyla birimsiz oran elde edilir.
Farklı ölçü birimlerine sahip niceliklerin karşılaştırılmasıyla birimli oran elde edilir.
Parça-bütün ilişkisi taşıyan birimsiz oranlar matematiksel olarak bir kesir belirtir.

Not Birimli oranda birimler sadeleşmediği için sonucun yanına $\text{km/saat}$ veya $\text{L/saat}$ gibi yazılır.

Dikkat Parça-parça ilişkisi kuran birimsiz oranlar kesir belirtmez, yalnızca parça-bütün oranları kesir kabul edilir.

Örnek

Bir araç $410$ km yolu $4$ saatte gitmiştir. Bu aracın hızını belirten birimli oranı hesaplayınız.

Mesafe ve süre oranlanır: $\frac{410\text{ km}}{4\text{ saat}}$
Bölme işlemi yapılır: $410 / 4 = 102,5$
Sonuç birimli oran olarak $102,5\text{ km/saat}$ bulunur.

Denk Oran ve Gösterim Temsilleri

Aynı çarpımsal ilişkiyi ifade eden farklı gösterimler denk oran oluşturur.

Denk oran ve özellikleri;

Aynı çarpımsal ilişkiye sahip oranlara denk oranlar denir.
Bir oranın pay ve paydası sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpılırsa veya bölünürse denk oran elde edilir.
Denk oranlar çift sayı doğrusu ve oran tablosu modelleri üzerinde gösterilebilir.
Oranın terimleri aralarında asal olduğunda oran en sade hâlindedir.

Örnek

Bir gruptaki $30$ kalem ve $24$ silgi eşit paketlere bölünecektir. En fazla kaç paket oluşturulabileceğini ve bir paketteki kalem/silgi oranının en sade hâlini bulunuz.

$30$ ve $24$ sayılarının en büyük ortak böleni $6$ 'dır; en fazla $6$ paket yapılır.
Bir paketteki kalem sayısı $30 / 6 = 5$ , silgi sayısı $24 / 6 = 4$ 'tür.
Kalem/silgi oranı en sade hâliyle $\frac{5}{4}$ bulunur.

Birim Oran ve Kullanım Alanları

Birim oran tanımı ve kullanımı;

Karşılaştırılan niceliklerden birinin değerinin $1$ olduğu oranlara birim oran denir.
Birim oran alışverişte birim fiyat ve harekette hız hesaplamalarında kullanılır.
Farklı miktardaki ürünlerin hangisinin daha ekonomik olduğunu belirlemek için birim oranlar karşılaştırılır.

Not Birim fiyatı daha düşük olan ürün alışverişte daha ekonomiktir.

Örnek

A marka karabiberin $30$ gramı $50$ TL, B marka karabiberin $40$ gramı $60$ TL'dir. Hangi markanın gram fiyatının daha ekonomik olduğunu bulunuz.

A markasının $1$ gram fiyatı: $50 / 30 = 1,67$ TL/g.
B markasının $1$ gram fiyatı: $60 / 40 = 1,50$ TL/g.
$1,50 < 1,67$ olduğundan B marka karabiber daha ekonomiktir.

Detaylı konu anlatımı

Toplamsal ve Çarpımsal Karşılaştırma

Toplamsal İlişki

İki niceliğin toplama veya çıkarma işlemleri kullanılarak karşılaştırılmasına toplamsal ilişki adı verilir. Bu ilişki türü mutlak bir fark ortaya koyar.

Örneğin 15 cm uzunluğundaki sarı bir kalem ile 5 cm uzunluğundaki yeşil bir kalem kıyaslandığında; sarı kalem yeşil kalemden 10 cm daha uzundur.

Çarpımsal İlişki

İki niceliğin çarpma veya bölme işlemleri yoluyla karşılaştırılmasına çarpımsal ilişki denir. Bu işlem bağıl bir karşılaştırma sağlar ve niceliklerin birbirinin kaç katı olduğunu gösterir.

Aynı kalem örneğinde sarı kalemin boyu yeşil kalemin boyunun 3 katıdır veya yeşil kalemin boyu sarı kalemin boyunun 1/3'ü kadardır.

Oran Kavramı ve Gösterimi

Oran

Aralarında çarpımsal ilişki bulunan iki niceliğin bölme yoluyla karşılaştırılmasına oran denir. İki nicelik birbirine oranlanırken sıralama önemlidir.

Bir durumdaki a niceliğinin b niceliğine oranı a:b veya a/b şeklinde gösterilir.

Bir grupta 2 sarı ve 3 mavi araba bulunduğunda, sarı arabaların mavi arabalara oranı 2/3 iken mavi arabaların sarı arabalara oranı 3/2 biçiminde yazılır.

Oran yalnızca parçaların birbirine göre durumunu değil, bir parçanın bütüne göre durumunu da ifade edebilir. Örneğin 5 akbalıkçıl ve 3 arı kuşunun olduğu bir alanda arı kuşlarının tüm kuşlara oranı 3/8 olur.

Birimli ve Birimsiz Oran

Birimsiz Oran

Aynı ölçü birimine sahip iki niceliğin karşılaştırılmasıyla elde edilen orana birimsiz oran denir. Pay ve paydadaki birimler sadeleştiği için sonucun birimi kalmaz.

Örneğin 60 litrelik suyun 30 litrelik suya oranı 60 L / 30 L = 2 sonucunu verir. Birimsiz oranlar parça-parça veya parça-bütün ilişkisi belirtir.

Kesirler her zaman parça-bütün ilişkisi kurar. Bu nedenle parça-bütün ilişkisi taşıyan birimsiz oranlar bir kesir belirtirken parça-parça ilişkisi kuran oranlar kesir olarak kabul edilmez.

Birimli Oran

Farklı ölçü birimlerine sahip iki niceliğin birbirine bölünmesiyle ifade edilen orana birimli oran denir. Bu oran türünde birimler sadeleşmez ve sonucun yanına yazılır.

Bir depodaki 90 litrelik suyun 3 saatte tüketilmesi durumunda su miktarının süreye oranı 90 L / 3 saat = 30 L/saat olarak gösterilir. Bir aracın 410 kilometrelik yolu 4 saatte gitmesi durumunda hızı 102,5 km/saat şeklinde birimli oran belirtir.

Denk Oran ve Gösterim Temsilleri

Denk Oran

Aynı çarpımsal ilişkiye sahip oranlara denk oranlar denir. Bir oranın pay ve paydası sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpıldığında veya bölündüğünde elde edilen oran başlangıçtaki orana denktir.

Örneğin 2 kova mavi boyaya karşılık 5 kova sarı boya karıştırıldığında oluşan renk tonunu korumak için 4 kovaya 10 kova veya 6 kovaya 15 kova boya kullanılır. Buradaki 2/5, 4/10 ve 6/15 oranları birbirine denktir.

İki nicelik arasındaki bu tür denk ilişkiler oran tablosu veya çift sayı doğrusu gibi görsel modeller üzerinde temsil edilir. Çift sayı doğrusunda her iki niceliğin sıfırdan başlayarak katları aynı hizaya yerleştirilir ve orantılı büyüme açıkça gözlemlenir.

Bir oranın terimleri aralarında asal olduğunda o oran en sade hâlindedir. Örneğin 30 kalem ve 24 silgi eşit paketlendiğinde en fazla 6 pakete paylaştırılır ve her paketteki 5/4 oranı en sade denk orandır.

Birim Oran ve Kullanım Alanları

Birim Oran

Karşılaştırılan niceliklerden birinin değerinin "1" olduğu oranlara birim oran denir. Bu işlem, çokluklardan biri 1 birim olduğunda diğerinin kaç birim olduğunu gösterir.

Örneğin 135 kilometrelik mesafede 9 litre yakıt tüketen bir otomobilde 135 / 9 = 15 km/L değeri elde edilir. Bu ifade aracın 1 litre benzinle 15 kilometre gittiğini gösteren birim orandır.

Aynı durum ters çevrilerek 9 / 135 = 1/15 L/km biçiminde yazılırsa aracın 1 kilometre gidebilmek için harcadığı benzin miktarı hesaplanmış olur.

Karşılaştırmalarda Birim Oran

Birim oranlar özellikle alışverişte birim fiyat hesaplamasında ve hız kıyaslamalarında kullanılır. 30 gramı 50 TL olan karabiberin gramı yaklaşık 1,67 TL iken, 40 gramı 60 TL olan karabiberin gramı 1,5 TL'dir. Birim fiyatı daha düşük olan ürün daha ekonomiktir.

Konuyu anlama alıştırmaları

Toplamsal ve Çarpımsal Karşılaştırma

Karşılaştır: Bir fidenin boyunun 4 cm'den 16 cm'ye çıkması durumu ile 2 cm'den 12 cm'ye çıkması durumunu toplamsal ve çarpımsal açıdan kıyaslayınız.

Oran Kavramı ve Gösterimi

Düşün: Bir sınıfta 12 kız ve 16 erkek öğrenci bulunmaktadır. Kız öğrencilerin sayısının tüm sınıfa oranı ile erkek öğrencilerin sayısına oranı arasındaki farkı düşününüz.

Birimli ve Birimsiz Oran

Günlük Hayattan Bul: Çevrenizde karşılaştığınız birimli oran ve birimsiz oran içeren iki ayrı durumu belirleyiniz.

Denk Oran ve Gösterim Temsilleri

Dene: 4/12 oranına denk olan üç farklı oran yazınız ve en sade hâlini belirleyiniz.

Birim Oran ve Kullanım Alanları

Hayal Et: 60 dakikada 18 km yol giden bir patenci ile 40 dakikada 8 km yol giden bir koşucunun hızlarını birim oran kullanarak kıyaslayınız.

Özet

Toplamsal İlişki: İki niceliğin toplama veya çıkarma işlemleriyle yapılan mutlak karşılaştırmasıdır.
Çarpımsal İlişki: İki niceliğin çarpma veya bölme işlemleriyle kurulan bağıl karşılaştırmasıdır.
Oran: Aralarında çarpımsal ilişki bulunan iki niceliğin bölme yoluyla karşılaştırılmasıdır.
Birimsiz Oran: Aynı ölçü birimine sahip iki niceliğin birbirine bölünmesiyle elde edilen orandır.
Birimli Oran: Farklı ölçü birimlerine sahip iki niceliğin birbirine bölünmesiyle kurulan orandır.
Parça-Bütün Oranı: Bir parçanın bütüne kıyasını belirten ve kesir olarak adlandırılabilen birimsiz orandır.
Denk Oran: Genişletme veya sadeleştirme yoluyla aynı çarpımsal değeri koruyan eşit oranlardır.
Çift Sayı Doğrusu: Denk oranlar arasındaki artış ilişkisini hizalı şekilde gösteren görsel araçtır.
Birim Oran: Karşılaştırılan niceliklerden en az birinin değerinin 1 olarak ifade edildiği orandır.
Birim Fiyat: Bir ürünün 1 birimlik miktarının maliyetini gösteren birim orandır.

Düşün ve yorumla

Market alışverişlerinde paket büyüklükleri ve fiyatları farklı olan iki ürünü kıyaslarken birim fiyata bakmak her zaman en tasarruflu kararı vermemizi sağlar mı?

…soru

Kavrama testi

Ne kadar anladın?

Kavrama testiyle kendini dene. Yarım bıraktığın test kaldığın yerden devam eder.