İspat

Matematikte doğruluğu veya yanlışlığı kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Bir önermede ifade edilen yargı ya tamamen doğrudur ya da tamamen yanlıştır.

Henüz doğruluğu kesin olarak kanıtlanmamış iddilara ise varsayım adı verilir. Bir varsayımın geçerliliğini incelemek için öncelikle sayı örüntüleri listelenir ve elde edilen sonuçlar sınanır.

Önermelerde genellikle her zaman, tüm veya herhangi bir gibi genelleyici kelimeler yer alır. İncelenen durumlar matematiksel olarak hem sözel hem de cebirsel ifadelerle temsil edilebilir.

Genelleyici bir varsayımın yanlış olduğunu göstermek için tek bir karşıt örnek bulmak yeterlidir. Sayısal örneklerin tamamını denemek imkansız olduğundan, varsayımı bozan tek bir durum iddianın geçersizliğini kanıtlar.

Örneğin "Her çift sayı 4 ile tam bölünür" varsayımı ele alınabilir. Bu varsayım için 6 sayısı bir karşıt örnektir ve varsayımın yanlış olduğunu gösterir.

Diğer taraftan "En az bir" ifadesini barındıran önermelerin doğruluğunu göstermek için ise tek bir doğrulayıcı örnek yeterli olmaktadır. Örneğin "En az bir çift asal sayı vardır" önermesi için 2 sayısı yeterli bir örnektir.

Bir matematiksel ifadenin her durumda doğru olduğunu göstermek için cebirsel ispat yöntemleri kullanılır. Sonsuz sayıda örneği tek tek denemek imkansız olduğu için harfli ifadeler kullanılarak genel bir kanıt sunulur.

İki çift sayının toplamının çift olduğunu ispatlamak için çift sayılar 2a ve 2b şeklinde temsil edilir. Bu sayıların toplamı 2a + 2b = 2(a + b) biçiminde yazıldığında, sonucun 2'nin katı yani bir çift sayı olduğu kesinleşir.

Benzer şekilde ardışık üç sayının toplamının ortadaki sayının 3 katı olduğu durumu cebirsel olarak gösterilebilir. En küçük sayı n, ortadaki n + 1 ve en büyük sayı n + 2 alındığında toplam n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1) olarak bulunur.