Matematik 7. Sınıf Konu anlatımı

Ünite 08 İşlemlerle Cebirsel Düşünme ve Değişimler Konu 3/4

İspat

Matematiksel önermeleri, varsayımları, karşıt örnek kuralını ve cebirsel ispat yöntemlerini kapsayan ders notları.

Kazanımlar

30. Hafta3 Mayıs – 7 Mayıs

MAT.7.2.3 Sayılar ve özelliklerini içeren ispatlara ilişkin matematiksel muhakeme yapabilme

  1. a Sayılar ve özellikleriyle ilgili ilişkilere yönelik örneklere ve örüntülere dayalı varsayımlarda bulunur.
  2. b Varsayımına yönelik sayı örüntülerini listeler.
  3. c Elde ettiği örüntülerin, varsayımını karşılayıp karşılamadığını sınar.

Konu araçları6 araç

Konu bölümleri

Önerme ve Varsayım Kavramı

Matematiksel iddiaları sınıflandırmak ve incelemek için temel kavramlar kullanılır.

Temel Kavramlar;

  • Doğruluğu veya yanlışlığı kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir.
  • Henüz doğruluğu kesin olarak kanıtlanmamış matematiksel iddialara varsayım adı verilir.
  • Önermelerde genellikle "her zaman" veya "tüm" gibi genelleyici ifadeler yer alır.
  • İncelenen durumlar matematiksel olarak sözel veya cebirsel ifadelerle temsil edilebilir.

Dikkat Bir ifadenin önerme olması için doğru olması şart değildir; yanlış fakat kesin hüküm bildiren ifadeler de önermedir.

Örnek

"Tüm asal sayılar tektir." ifadesinin önerme durumunu ve doğruluk değerini belirleyiniz.

  1. İfade kesin bir hüküm bildirdiği için bir önermedir.
  2. 2 sayısı çift bir asal sayı olduğundan bu önerme yanlıştır.

Karşıt Örnek ve Tek Örnekle Doğrulama

Doğrulama ve Çürütme;

  • Genelleyici bir varsayımın yanlışlığını kanıtlamak için tek bir karşıt örnek yeterlidir.
  • Bütün sayısal örnekleri tek tek denemek matematiksel bir ispat sayılmaz.
  • "En az bir" ifadesi taşıyan önermelerin doğruluğu için tek bir doğrulayıcı örnek yeterlidir.

Dikkat Genel bir kuralı doğrulamak için sayısal örnekler vermek yetmezken, iddiayı çürütmek için tek bir karşıt örnek yeterlidir.

Örnek

"Her nn doğal sayısı için n2+1n^2 + 1 sayısı tek sayıdır." varsayımının yanlış olduğunu gösteren bir karşıt örnek bulunuz.

  1. n=1n = 1 için 12+1=21^2 + 1 = 2 bulunur.
  2. 2 sayısı çift olduğundan n=1n = 1 değeri iddianın karşıt örneğidir.

Cebirsel İspat Yöntemi

Sonsuz sayıdaki durumu tek tek denemek imkansız olduğundan genelleme cebirsel ifadelerle yapılır.

Cebirsel Gösterim ve İspat;

  • Bir matematiksel ifadenin her durumda doğruluğunu göstermek için cebirsel ispat yöntemi kullanılır.
  • Çift sayılar cebirsel olarak 2a2a biçiminde harfli ifade ile gösterilir.
  • İki çift sayının toplamı 2a+2b=2(a+b)2a + 2b = 2(a + b) yazılarak çift sayı olduğu ispatlanır.
  • Ardışık üç sayının toplamı n+(n+1)+(n+2)=3(n+1)n + (n+1) + (n+2) = 3(n+1) ile ortadaki sayının 3 katı olarak gösterilir.

Dikkat Sayılarla yapılan denemeler ispat değildir; genel kural değişkenler ve ortak çarpan parantezi ile gösterilmelidir.

Örnek

Ardışık beş tam sayının toplamının 5'in katı olduğunu cebirsel olarak ispatlayınız.

  1. En küçük sayı nn alınarak sayılar n,n+1,n+2,n+3,n+4n, n+1, n+2, n+3, n+4 şeklinde yazılır.
  2. Toplam n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=5n+10n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 5n + 10 olur.
  3. İfade 5 ortak çarpan parantezine alınarak 5(n+2)5(n+2) elde edilir.
  4. 5(n+2)5(n+2) ifadesi 5'in katı olduğundan toplam her zaman 5 ile tam bölünür.
Detaylı konu anlatımı

Önerme ve Varsayım Kavramı

Matematikte doğruluğu veya yanlışlığı kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Bir önermede ifade edilen yargı ya tamamen doğrudur ya da tamamen yanlıştır.

Henüz doğruluğu kesin olarak kanıtlanmamış iddilara ise varsayım adı verilir. Bir varsayımın geçerliliğini incelemek için öncelikle sayı örüntüleri listelenir ve elde edilen sonuçlar sınanır.

Önermelerde genellikle her zaman, tüm veya herhangi bir gibi genelleyici kelimeler yer alır. İncelenen durumlar matematiksel olarak hem sözel hem de cebirsel ifadelerle temsil edilebilir.

Karşıt Örnek ve Tek Örnekle Doğrulama

Genelleyici bir varsayımın yanlış olduğunu göstermek için tek bir karşıt örnek bulmak yeterlidir. Sayısal örneklerin tamamını denemek imkansız olduğundan, varsayımı bozan tek bir durum iddianın geçersizliğini kanıtlar.

Örneğin "Her çift sayı 4 ile tam bölünür" varsayımı ele alınabilir. Bu varsayım için 6 sayısı bir karşıt örnektir ve varsayımın yanlış olduğunu gösterir.

Diğer taraftan "En az bir" ifadesini barındıran önermelerin doğruluğunu göstermek için ise tek bir doğrulayıcı örnek yeterli olmaktadır. Örneğin "En az bir çift asal sayı vardır" önermesi için 2 sayısı yeterli bir örnektir.

Cebirsel İspat Yöntemi

Bir matematiksel ifadenin her durumda doğru olduğunu göstermek için cebirsel ispat yöntemleri kullanılır. Sonsuz sayıda örneği tek tek denemek imkansız olduğu için harfli ifadeler kullanılarak genel bir kanıt sunulur.

İki çift sayının toplamının çift olduğunu ispatlamak için çift sayılar 2a ve 2b şeklinde temsil edilir. Bu sayıların toplamı 2a + 2b = 2(a + b) biçiminde yazıldığında, sonucun 2'nin katı yani bir çift sayı olduğu kesinleşir.

Benzer şekilde ardışık üç sayının toplamının ortadaki sayının 3 katı olduğu durumu cebirsel olarak gösterilebilir. En küçük sayı n, ortadaki n + 1 ve en büyük sayı n + 2 alındığında toplam n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1) olarak bulunur.

Konuyu anlama alıştırmaları

Önerme ve Varsayım Kavramı

Karşılaştır: 'Bir hafta 7 gündür' cümlesi ile 'Sayılar çok eğlencelidir' cümlesini kesin bir yargı bildirme bakımından inceleyiniz.

Karşıt Örnek ve Tek Örnekle Doğrulama

Düşün: 'Tüm asal sayılar tektir' iddiasının geçersiz olduğunu göstermek için nasıl bir sayı aranmalıdır?

Cebirsel İspat Yöntemi

Dene: Ardışık beş sayının toplamının 5'in katı olduğunu cebirsel sembollerle ifade etmeye çalışınız.

Özet

  • Önerme: Doğruluğu veya yanlışlığı kesin bir yargı bildiren ifadelerdir.
  • Varsayım: Doğruluğu henüz kanıtlanmamış matematiksel iddialardır.
  • Karşıt Örnek: Genel bir varsayımın yanlış olduğunu gösteren tek bir örnektir.
  • Doğrulayıcı Örnek: En az bir ifadesi içeren önermelerin doğruluğunu gösteren tek bir örnektir.
  • Cebirsel İspat: İfadelerin her durumda geçerli olduğunu harfli ifadelerle gösterme yöntemidir.
  • Çift Sayı Temsili: Cebirsel ifadelerde çift sayılar bir tam sayının 2 katı olan 2a biçiminde gösterilir.
  • Ardışık Sayı Temsili: Sırasıyla n, n+1, n+2 şeklinde sembolize edilen sayılardır.

Düşün ve yorumla

Sence bir iddianın binlerce farklı örnekte doğru çıkması, onun her zaman doğru olduğunu kabul etmemiz için yeterli midir?

…soru

Kavrama testi

Ne kadar anladın?

Kavrama testiyle kendini dene. Yarım bıraktığın test kaldığın yerden devam eder.